Demostrar propiedades de $A^2 = -I$

Question

Dada una matriz de #% de %#% A con verdadero entradas tales que $n\times n$, demostrar que es $A^2=-I$ y (b) que $n$ no tiene valores propios reales. ¿Cómo lo haces? No tengo ni idea de dónde empezar.

Answer 1

(a)

Puesto que la matriz tiene entradas real, $\det A$ es real, por lo $\det A^2 = (\det A)^2$ es positiva. $\det -I = (-1)^n$, Porque podemos simplemente multiplicamos hacia abajo de la diagonal principal, así que debemos tenemos que $n$ es.

(b)

Supongamos que $A$ tiene un valor propio real $\lambda$ con el correspondiente vector propio $v$. Entonces $$-v=-Iv=A^2v=A(Av)=A(\lambda v)=\lambda^2v.$ $

Estos productos una contradicción, porque ningún número real cuadrados $-1$.

Answer 2

SUGERENCIA: $\det(-I)=\det(A^2)$. ¿Si $Ax=\lambda x$, entonces el $-x=A^2x=\ldots\;$?

Answer 3

Vamos a empezar con (b). Supongamos $\lambda$ un autovalor de a $A$. Entonces existiría un vector distinto de cero $v \in R^n$ tal que

$Av = \lambda v$.

Entonces

$A^2v = \lambda^2 v$,

y

$(A^2 + I)v = (\lambda^2 + 1)v$;

pero desde $A^2 + I = 0$ esto implica

$(\lambda^2 + 1)v =0$,

que desde $v \ne 0$ implica

$\lambda^2 + 1 = 0$;

pero no real $\lambda$ satisface esta ecuación. Esta contradicción muestra $A$ no tiene autovalores.

Como para (a), si $n$ fueron impar, entonces el polinomio característico $\det(A - \lambda I)$ $A$ tienen grado impar $n$; pero cada polinomio con coeficientes reales y grado impar tiene al menos una raíz real. Pero hemos visto que $A$ no tienen real de los autovalores. Por lo tanto $n$ debe ser en sí mismo incluso. QED.

Espero que esto ayude. Saludos.

Answer 4

Echa un vistazo en el teorema de Cayley Hamilton. Una exageración, pero las dos personas por encima de mí ya la contesto! En particular, observe el polinomio mínimo.

Answer 5

Para demostrar (a):

Considerar el % de matriz $I_n$, la matriz de identidad de $n*n$. Claramente, $\det I_n = (-1)^n$. Consideremos ahora, $\det A$. $A$ Tiene sólo las entradas reales, $\det A$ es real. Así, $(\det A)^2$ es positiva. Desde $A^2 = I_n$, es también el caso de que el $(\det A)^2 = \det I_n = (-1)^n$ y $(\det A)^2 > 0$, debe ser el caso que $\det I_n > 0$, $n$ debe ser incluso.