Si usted tiene una corta secuencia exacta
$0\rightarrow\mathscr{F}\rightarrow\mathscr{G}\rightarrow\mathscr{H}\rightarrow 0$
de finito localmente libre de poleas en un esquema de $X$, entonces la secuencia de
$0\rightarrow\mathscr{H}^\vee\rightarrow\mathscr{G}^\vee\rightarrow\mathscr{F}^\vee\rightarrow 0$
es exacto. La razón es que la exactitud se puede comprobar en los tallos, y debido a que las poleas en la secuencia original se finitely presenta, teniendo tallos de viajes con la toma de $\mathcal{H}om$ poleas, de modo que la secuencia de los tallos de la segunda secuencia es
$0\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathscr{O}_{X,x}}(\mathscr{H}_x\mathscr{O}_{X,x})
\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathscr{O}_{X,x}}(\mathscr{G}_x\mathscr{O}_{X,x})
\rightarrow\mathrm{Hom}_{\mathscr{O}_{X,x}}(\mathscr{F}_x\mathscr{O}_{X,x})\rightarrow 0$
que es exacto debido a que el functor $\mathrm{Hom}_{\mathscr{O}_{X,x}}(-,\mathscr{O}_{X,x})$ es exacta en corto exacta de secuencias finitas de libre $\mathscr{O}_{X,x}$-módulos.
No estoy seguro de lo que sucede cuando las gavillas en la secuencia no son finitos localmente libre. Hay una larga secuencia exacta de $\mathcal{E}xt$ poleas. Tenga en cuenta que las poleas en el OP de la secuencia original son todos finitos localmente libre.
EDIT: por cierto, esto no tiene nada que ver con los esquemas, y trabaja para arbitrario localmente anillado espacios.
