Sea $S_n$ el grupo de permutaciones de $\{1, 2, \ldots, n\}$. Un "personaje" $S_n$ es una función $\chi\colon S_n \to \mathbb{C} \setminus \{0\}$ $\chi(ab) = \chi(a)\chi(b)$ % todo $a, b \in S_n$[Nota: esto no es fiable al 100% - ver comentarios y respuestas a continuación (OP)]. ¿Qué es un irreductible carácter? He buscado la Web y todas las referencias que encontré fueron insuficientes o me decía más de lo que quería saber.
Respuestas
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El homomorphisms $G\to \Bbb C^\times$ no son realmente toda la historia del personaje de la teoría, pero son una muy ordenado en el capítulo. Si $V$ es un espacio vectorial (sobre $\Bbb C$) y $G$ finito, el homomorphisms $G\to GL(V)$ $G$ en el grupo lineal general de invertible lineal mapas se llaman representaciones, que son esencialmente las formas para equipar $V$ lineal $G$ acción. Si $\rho$ es una representación, a continuación, el mapa dado por $\chi_\rho:G\to \Bbb C:g\mapsto\mathrm{tr}\,\rho(g)$ (la traza de la lineal mapa asociados a $g$, que es independiente de la base o coordinar opción para $V$) se llama un personaje de $G$.
Si $V$ es unidimensional (en cuyo caso llamamos a $\rho$ $\chi_\rho$ unidimensional), a continuación, $\rho=\chi_\rho$ y los personajes son multiplicativas. Tenga en cuenta que $\mathrm{tr}\,\rho(e_G)=\dim\,V$ muestra la dimensión se puede calcular directamente a partir de los caracteres, por lo que no hay ambigüedad con respecto a lo que la dimensión de un personaje puede tener. Con un distinguido base tenemos $V\cong \Bbb C^n$ en una manera evidente, y así podemos escribir $GL(V)$$GL_n(\Bbb C)$, en cuyo caso estamos trabajando con la matriz de representaciones específicamente.
Si no hay una adecuada subespacio no trivial $W\subseteq V$ que es invariante bajo la lineal $G$-acción, que es que si tenemos a $\rho(g)W\subseteq W$ por cada $g\in G$, entonces la restricción de $G$'s lineales de acción a $W$ luego forma un subrepresentation de $V$. Si una representación $\rho:G\to GL(V)$ tiene ninguna subrepresentations, se llama un irreductible de la representación, en cuyo caso $\chi_\rho$ también se llama irreducible. Esto está bien definido debido a que (a través de cualquier campo de característica cero) representaciones se determina únicamente por sus personajes, que a su vez impide cualquier tipo de ambigüedad o conflicto descripciones de derivadas.
Un espacio tridimensional no tiene adecuada subespacios triviales, de modo unidimensional representaciones y caracteres (los que están hablando) son automáticamente todos los irreductible. El uso de la muy ingeniosa Schur del lema, uno puede ver que las representaciones de abelian grupos descomponer en una suma directa de representaciones tridimensionales y por lo tanto son irreductibles, precisamente cuando más se unidimensional (usted puede encontrar Schur y directa sumas más adelante).
Puedo recomendar este excelente nota sobre la teoría de la representación de los grupos simétricos y Jóvenes de cuadros, donde las representaciones irreducibles son obtenidos a través de Specht módulos. Para comprender plenamente este tendrá relativamente buena familiaridad con la teoría de la representación, álgebra, combinatoria y permutaciones, así que tal vez volver a ella más tarde. (También para otros lectores.)
Teoría de la representación no tiene que ser hecho en $\Bbb C$, podemos trabajar en arbitraria campos. Sin embargo, como ya he insinuado hace un momento, si la característica divide al orden del grupo finito $G$, entonces las cosas se complican y estamos trabajando en modular teoría de la representación. Las cosas también se complican cuando $G$ es un grupo topológico, en cuyo caso tenemos la teoría de resumen del análisis armónico.
Shery
Puntos
16
Hay dos algo contradictorias definiciones de caracteres, y el citado no es la más relevante.
- Un carácter $\chi$ de una representación lineal $\pi$ de un grupo de $G$ es su composición con traza $\operatorname{tr}\circ \pi$.
- Un personaje de un grupo es un personaje de cualquier representación.
- Un irreductible carácter es el carácter de una representación irreducible.
Lo citado es un carácter multiplicativo. ( $\bf C$ , No estoy seguro de cómo es en general), multiplicativo personajes son exactamente los caracteres de una dimensión de las representaciones, y que son irreductibles.
Así, un carácter multiplicativo es una irreductible carácter, pero no al revés: cualquier $S_n$ natural irreductible $n-1$-dimensiones de la representación.
Vale la pena destacar, si mal no recuerdo, el único multiplicativo de caracteres de un grupo simétrico son el trivial y el signo, por lo que son bastante irrelevante en este caso.
Por otro lado, para abelian grupos, irreductible personajes son exactamente los unidimensional (de manera multiplicativa) personajes (por eso en el contexto de abelian grupos, conmutativa análisis de Fourier, etc., la definición citada se utiliza generalmente).
