Es el espacio de las funciones lisas con el sup norma $\sigma$-compacto?

Question

Deje $Y$ denotar el espacio de las funciones lisas $[0,1]\to\mathbb{R}$, equipado con el sup norma (es decir, topologized como un subespacio del espacio habitual $C([0,1])$ de funciones continuas en $[0,1]$). Es $Y$ $\sigma$-compacto?

(Tenga en cuenta que se desprende de la Arzela-Ascoli teorema que para cualquier $M$, el subconjunto de $Y$ compuesto de funciones $f$ tal que $|f(x)|\leq M$ $|f'(x)|\leq M$ es en todas partes precompact como un subconjunto de a $C([0,1])$, lo $Y$$\sigma$ -precompacto como un subconjunto de a $C([0,1])$. Sin embargo, estos subconjuntos no están cerrados, así que no son compactos, y no veo ninguna manera de construir la "gran" los subconjuntos de a $Y$ que son compactos. Una respuesta negativa a esta pregunta podría completar mi respuesta a otra pregunta.)

Answer 1

Considerar la topología $\tau$ de la convergencia uniforme de todos los derivados en $C^\infty=C^\infty([0,1])$, que es su natural Frechet topología del espacio. Si $C^\infty=\bigcup K_n$ compactas (de ahí cerrada) de subconjuntos de a $C([0,1])$ Baire teorema implica que hay un $K_n$ contiene $\tau$-los puntos del interior que puede ser asumida $0$. Por lo tanto, hay $m\in\mathbb N$ $r>0$ tal que $$B=\lbrace f\in C^\infty: |f^{(k)}(x)|\le r \text{ for all $x\in [0,1]$ and $k\le m$}\rbrace \subseteq K_n.$$

En particular, $\overline B^{C([0,1])} \subseteq K_n \subseteq C^\infty$. Debe ser bastante elemental ver que esto está mal, por ejemplo, mediante la toma de una función de $f\in C^m\setminus C^{m+1}$, de modo que su $m$-ésima derivada es pequeña, la aproximación de esta $m$-ésima derivada por un polinomio y la integración de $m$ veces a la aproximación de $f$ por un polinomio cuyo primer $m$ derivados son pequeños.