Se puede suponer que la $a,b,c$ son reales y $b,c\ge0$. Para $c$ esto es obvio. Para $b$ usted puede obtener esta sustituyendo $\theta z$$z$, como se escribió en la pregunta. Finalmente, se puede reemplazar el polinomio por $\frac{(az^2+bz+c)+(\bar{a}z^2+bz+c)}2$.
Por el principio del máximo, es suficiente para verificar la condición en el círculo.
En el punto de $e^{it}$ hemos
$$
1 \ge |ae^{2it}+be^{es}+c|^2 = |a+ser^{-}+ce^{-2it}|^2 \\
= \big(a+b\cos t+c\cos 2t\big)^2 + \big(b\sen t+c\sen 2t\big)^2 \\
= \big(a+b\cos t+c\cos 2t\big)^2 + \big(b\sen t-c\sen 2t\big)^2
+ 4bc \sen t \sen 2t \\
\ge 4bc \sen t \sen 2t.
$$
El máximo de $\sin t \sin 2t$ $\frac{16}{3\sqrt3}$ (a $t=\arcsin\frac{\sqrt2}{\sqrt3}$ donde $\cos t=\frac1{\sqrt3}$, $\sin t=\frac{\sqrt2}{\sqrt3}$, $\cos 2t=-\frac13$ y $\sin 2t=\frac{2\sqrt2}{3}$). Así, en este momento tenemos enlazado $bc\le \frac{3\sqrt3}{16}$.
Por supuesto, esto es sólo un atado...
Para mantener la igualdad en el caso extremo, tenemos que establecer $b=\frac{\sqrt3}{2\sqrt2}$,
$c=\frac{3}{4\sqrt2}$, $a=-\frac1{4\sqrt2}$.
Entonces
$$
|ae^{2it}+be^{es}+c|^2 = |ae^{es}+b+ce^{-}|^2 \\
= \big((a+c)\cos t+b\big)^2 + \big((a-c)\sen t\big)^2 \\
= (a-c)^2+b^2 +2(a+c)b\cos t+4ac\cos^2t \\
=
\frac78+\frac{\sqrt3}4\cos t -\frac38\cos^2 t
= 1 - \frac38\left(\cos t-\frac1{\sqrt3}\right)^2 \le 1.
$$
Por lo tanto, $bc=\frac{3\sqrt3}{16}$ es posible.
