Isomorfismo entre $I_G/I_G^2$ et $G/G'$

Question

Ok, esto me ha estado molestando por un tiempo, y estoy seguro de que hay algo obvio que me estoy perdiendo. Las referencias que he mirado para este resultado en un esfuerzo por resolver el problema no lo abordaron.

$G$ es un grupo, $\mathbb{Z}[G]$ su anillo de grupo integral, $I_G$ el ideal de aumento (es decir, el núcleo del mapa $\mathbb{Z}[G]\rightarrow\mathbb{Z}$ enviando todos los elementos del grupo a 1), y $G/G'$ es la abelianización de $G$ . Estoy tratando de mostrar que $I_G/I_G^2$ es isomorfo a $G/G'$ .

Es sencillo demostrar que $$(g-1)+(h-1)\equiv(gh-1)\bmod I_G^2\hskip0.5in(*)$$ y por tanto toda clase de equivalencia mod $I_G^2$ es igual a algún $(g-1)+I_G^2$ .

Ahora todo lo que tenemos que hacer es definir un mapa $\phi:G/G'\rightarrow I_G/I_G^2$ y demostrar que tiene una inversa $\psi:I_G/I_G^2\rightarrow G/G'$ . Las definiciones son bastante obvias: $$\phi(gG')=(g-1)+I_G^2$$ $$\psi((g-1)+I_G^2)=gG'$$ y la ecuación estelar muestra que se trata de homomorfismos. Pero mi problema es demostrar que estos mapas están bien definidos. Por ejemplo, si $(g-1)+I_G^2=(h-1)+I_G^2$ es decir $$(g-1)-(h-1)\equiv (gh^{-1}-1)\equiv0\bmod I_G^2,$$ tenemos que demostrar que $$\psi((g-1)+I_G^2)=gG'=hG'=\psi((h-1)+I_G^2),$$ es decir $gh^{-1}\in G'$ .

Si tenemos $gh^{-1}\in G'$ es decir $gh^{-1}$ es igual a algunos $\prod_{a,b\in G} (aba^{-1}b^{-1})^{n_{a,b}}$ entonces $$gh^{-1}-1=\left(\prod_{a,b\in G} (aba^{-1}b^{-1})^{n_{a,b}}\right)-1,$$ y, desenrollando usando la ecuación estelar, $$\left(\prod_{a,b\in G} (aba^{-1}b^{-1})^{n_{a,b}}\right)-1\equiv \sum n_{a,b}(aba^{-1}b^{-1}-1)\equiv$$ $$\sum n_{a,b}\left[(ab-1)-(a-1)-(b-1)\right]=\sum n_{a,b}(a-1)(b-1)\equiv0\bmod I_G^2$$ pero por alguna razón no puedo hacer que esto funcione de la otra manera. Seguro que estoy haciendo una tontería; que alguien me indique dónde.

Answer 1

Tienes mapas $\phi:\ G\rightarrow I_G/I_G^2$ et $\psi:\ I_G\rightarrow G/G'$ . $\phi$ es un homomorfismo porque $\phi(gh) = (gh-1) = (g-1) + (h-1) + (g-1)(h-1)$ y $(g-1)(h-1)$ se encuentra en $I_G^2$ . Desde $I_G/I_G^2$ es un grupo abeliano, $\phi$ induce un mapa bien definido de $G/G'$ a $I_G/I_G^2$ .

Ahora toma un elemento de la forma $(g-1)(h-1)$ en $I_G^2$ . $(g-1)(h-1) = gh-g-h+1 = (gh-1)-(g-1)-(h-1)$ . Así, $\psi((g-1)(h-1)) = \psi(gh-1)-\psi(g-1)-\psi(h-1)=ghg^{-1}h^{-1}G' = [g^{-1},h^{-1}]G'=G'$ Así que $\psi(I_G^2) = 1$ y así $\psi$ induce un mapa bien definido de $I_G/I_G^2$ a $G/G'$ .