Especial Relativista aproximación a GR

Question

Hace algún tiempo yo estaba hablando con un profesor en la universidad acerca de algunos de los aspectos fundamentales y el origen de la Relatividad General. Me sorprendió descubrir que, en realidad, una muy buena aproximación a GR puede lograrse simplemente mediante el uso de la Relatividad Especial y la aplicación de una serie de (infinitesimal?) Lorentz aumenta para simular la aceleración/de un campo gravitacional. De hecho, creo que este es precisamente el enfoque utilizado por el sistema GPS para la correcta triangulación/ubicación, como matemática y computacional es un poco más sencillo el proceso de aplicación de las ecuaciones de campo de Einstein.

Así que mi pregunta es: alguien oído hablar de esto? Una explicación de cómo exactamente esta aproximación obras, y dónde/por qué no funciona en comparación a cierto GR (tal vez el fuerte campo gravitatorio caso?) sería muy apreciada.

Answer 1

El modelado se utiliza en el GPS se basa la estática de campo débil métrica $$ds^2 = -(1+2\Phi)dt^2 + (1-2\Phi)dS^2,$$ donde $dS^2$ es la métrica Euclidiana y $\Phi$ es el potencial gravitacional de la Tierra, aunque sólo el monopolo y cuadrupolo términos que se utilizan. El buen tiempo de un reloj es, por tanto, determinado por $$d\tau = dt\sqrt{1+2\Phi-(1-2\Phi)\frac{dS^2}{dt^2}}\approx\left[1+\Phi-\frac{v^2}{2}\right]dt.$$ La métrica por encima de la de Newton límite de linealizado GTR de una fuente estacionaria, que a su vez asume la métrica es una perturbación de la costumbre plano de Minkowski. (Para el caso específico de un esféricamente simétrica potencial, la métrica es también equiv/alent a la geometría de Schwarzschild en isotrópica coordina con $Φ = -GM/r$ y las de orden superior en términos caído.)

La idea de la aproximación de la gravedad como la aceleración encontrado por infinitesimal de Lorentz aumenta en un plano de fondo no es del todo una locura por sí mismo. Bastante un ejemplo canónico es el de un observador sometidos a una constante adecuada aceleración en la dirección z en el espacio-tiempo de Minkowski: $$ds^2 = -a^2z^2dt^2 + dS^2,$$ que puede ser pensado como la realización de la misma infinitesimal de Lorentz impulsar en cada instante de tiempo, produciendo una hiperbólica de worldline. El Rindler gráfico se parece mucho a Schwarzschild cerca del horizonte en el ecuador y el cero del ángulo azimutal, bajo el substition $x = 2M(\theta-\pi/2)$, $y = 2M\phi$, $z = 4M(1-2M/r)$: $$ds^2 = - \left(\frac{z}{4M}\right)^2dt^2 + \left[1 + {\mathscr{O}}\left(\frac{z}{4M},\frac{x}{2M}\right)^2\right]dS^2,$$ de nuevo después de dejar el mayor orden de los términos. Pero yo no veo ninguna obvia de hacerlo en el caso del GPS, al menos no sin hacer la situación mucho más complicada que la simple aproximación de arriba.

Pero al menos en este caso en particular es un poco más literal sobre "especial relativista aproximación a GTR" de una perturbación de la métrica de Minkowski. ¿Hasta dónde podemos llegar por el supuesto de que el campo gravitatorio es un campo de Minkowski de fondo? Algunos simétrica de rango-2 campo tensorial $h_{\mu\nu}$ es un buen candidato para el trabajo, ya que tiene el mismo número de grados como la métrica en GTR, aunque podemos hacer un escalar, vector, o lo-que-usted así. Resulta que los campos escalares y vectoriales no predecir la gravedad de la deflexión de la luz en absoluto, y si bien $h_{\mu\nu}$ obtiene la respuesta correcta, se obtiene de la precesión de Mercurio demasiado alto por un tercero. El simétrico de rango-2 campo también resulta ser formalmente idéntica a la de costumbre perturbativa método de linearización de GTR que se supone $g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}$, así que en ese caso no es nada especialmente diferente.

En general, este enfoque de un campo de Minkowski de fondo está destinado a fracasar, finalmente, no sólo a causa de las dificultades de aproximaciones, pero de una manera más fundamental de incompatibilidad. Por suponga que a y B están en diferentes elevaciones en una estática, no uniforme del campo gravitacional, y envía un pulso de luz monocromática en el B, de algunos fijar el número de oscilaciones (o fotones), teniendo una cierta cantidad de Un apropiado del tiempo t para enviar y B en el tiempo apropiado, t' para recibir. Debido a un corrimiento al rojo gravitacional, las frecuencias deben ser diferentes, pero el número de oscilaciones debe seguir siendo la misma: ft = f t', por lo $t\not=t'$. Por lo tanto, el corrimiento al rojo gravitacional es incompatible con la relatividad especial.

(Si esto no es claro, imagínate con un idéntico pulso inmediatamente después, de modo que la señal trayectorias son idénticos, formando un "paralelogramo' $A_{\text{send1}}B_{\text{receive1}}B_{\text{receive2}}A_{\text{send2}}$. Si el espacio-tiempo es plano, $t = A_{\text{send1}}A_{\text{send2}}$ debe ser igual a $t' = B_{\text{receive1}}B_{\text{receive2}}$, independientemente de si la señal de trayectorias son rectas, siempre que sean congruentes. Pero el corrimiento al rojo gravitacional les obliga a ser diferente. Este argumento fue hecho originalmente por A. Schild.)

Answer 2

en primer lugar, no sé exactamente whta "secuencia de infinitesimales de Lorentz aumenta" que se está refiriendo. Un impulso de la plana espacio de Minkowski le da un espacio de Minkowski, por lo que no pueden conseguir un espacio curvo por cualquier secuencia de aumentos que actuar globalmente en el espacio-tiempo.

Además, el adjetivo "infinitesimal" podría ser bastante intrascendente. Transformaciones en la física son a menudo representado como el producto de una infinidad de transformaciones infinitesimales.

Por otro lado, la afirmación de que el mundo - el Sistema Solar - puede ser aproximada por la relatividad especial es obviamente cierto. La curvatura del espacio-tiempo es pequeño y puede ser tratada perturbativa.

En casi cualquier sistema de referencia que elegir, y usted puede incluso elegir el sistema geocéntrico, a todos los efectos gravitacionales, incluidos los efectos relativistas pueden ser incorporados como pequeñas correcciones.

En particular, usted siempre puede definir algunos de los operativos de coordenadas en el que el espacio-tiempo es casi plana, por lo que la métrica es dada por el plano de la métrica de Minkowski. El real métrica dictada por la relatividad general, el que sea, puede ser expresado como una pequeña corrección a la métrica de Minkowski.

En principio, dicha corrección puede ser calculado de forma arbitraria en la precisión no sólo el nivel principal - por perturbativa de expansiones. Este enfoque de la teoría general de la relatividad es usualmente referido como linealizado de la gravedad - incluso si uno va más allá de la linealizado nivel - y no es sólo esencial para los cálculos reales de los fenómenos observables, sino también para una adecuada comprensión conceptual de la teoría general de la relatividad (y de la gravedad cuántica - la linealización es necesaria para entender que hay gravitones, y cuál es su masa, spin y física de las polarizaciones son).

El mismo Einstein calculó los efectos de un punto de masa - por ejemplo, el Sol - en otros órganos tales como el Mercurio en el perturbativa de esquema. Fue antes de Schwarzschild dio una solución exacta de las ecuaciones de Einstein en el esféricamente simétrica caso (cuando se extrapola a todas partes en el espacio, que ahora se conoce como el agujero negro de Schwarzschild).

Los efectos que el GPS tiene que tomar en cuenta incluyen, por supuesto, el estándar de la mecánica clásica fuerzas, tales como la fuerza centrípeta o la fuerza de Coriolis, así como algunos relativista especial y general de los efectos relativistas. Pero claro, cuando las cosas se calcula en la práctica, la gente de facto suponiendo que todo el mundo se lleva a cabo en una de Minkowski de fondo y todos los efectos gravitacionales son pequeñas correcciones que se producen en el Minkowski arena.

Incluso si Einstein no hubiera descubierto GR por métodos de un ingenioso físicos, ingenieros trabajando para GPS más tarde habría de encontrar el derecho de las correcciones en el proceso de ajuste de su sistema y eliminar las discrepancias. Se puede medir experimentalmente la dependencia en el día, la latitud y longitud de cualquier efecto que importa y eso hizo que su anterior GPS plus software inexacta. Ellos no aprecian la belleza de la GR de inmediato, pero, por supuesto, se podía adivinar la forma de la corrección de las desviaciones experimentales.

De nuevo, para responder a su última pregunta, la perturbativa enfoque de GR, en expansión alrededor de un SR de fondo, no tiene que fallar en cualquier lugar. Puede ser exacto como $\exp(x)$ puede ser exactamente expresado por la expansión de Taylor, $1+x+x^2/2+x^3/3!+\dots$. Por supuesto, el enfoque perturbative vuelve torpe, por decir lo menos, por causal no trivial de configuraciones, tales como los agujeros negros - incluyendo el interior; los agujeros de gusano y otros topológicamente trivial formas de espacio; o algunos muy global de las preguntas en la cosmología. Pero cuando el espacio-tiempo es topológicamente trivial, perturbativa de las expansiones de trabajo. El plano en el espacio, el más útil es el perturbativa de las expansiones de ser.

Los mejores deseos Lubos

Answer 3

La relatividad especial es un buen local aproximación a la teoría general de la relatividad. La relatividad especial o cualquier sucesión de transformaciones de Lorenz se revelan nada acerca de los aspectos globales de la gravitación de los sistemas.