¿Cuál es la lógica/razón del producto vectorial cruzado?

Question

Creo que nunca entendí la razón de ser de esto.

Entiendo que el producto punto $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} =\lVert \mathbf{a}\rVert \cdot\lVert \mathbf{b}\rVert \cos\theta$ se deriva de la regla del coseno. (Corrígeme si me equivoco).

Sin embargo, nunca entendí realmente por qué $\mathbf{a} \times \mathbf{b} =\lVert \mathbf{a}\rVert \cdot\lVert \mathbf{b} \rVert \sin\theta$ . ¿Hay alguna prueba de esto?

Además, ¿cómo el producto vectorial cruzado conduce a vectores ortogonales?

Recuerdo haber aprendido que lo hacen y sé cómo resolver ecuaciones usando las fórmulas respectivas, pero nunca entendí por qué es así.

Answer 1

$$\Large{\text{Bye_World's Second Treatise}} \\ \large{\text{On the Products of Vectors}}$$

Índice de contenidos

$\bullet \ $ Prefacio

$\bullet \ $ Vectores
$\bullet \ $ El producto punto
$\bullet \ $ El producto Cross
$\bullet \ $ La verdad sobre el producto Cross
$\bullet \ $ El producto de la cuña
$\bullet \ $ La relación entre el producto cruzado y el producto en cuña
$\bullet \ $ Nota rápida sobre otros productos

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Prefacio

Este trabajo es mi intento completamente loco para tratar de arreglar cualquier problema que el votante de esta respuesta tenía con mi respuesta anterior menos completa. Esta respuesta es, sin duda, una de las más largas de math.SE (en realidad, esta es la 7ª respuesta más larga en math.SE a partir de esta publicación ) y va mucho más allá de lo que cualquier persona razonable podría desear de una respuesta a la pregunta anterior.

Disfruta.

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Vectores

Nuestras primeras nociones de vectores, los primeros objetos que nos enseñaron en álgebra lineal, son las tuplas y los segmentos de recta orientados. Cuando aprendimos a conocerlos, rápidamente nos dijeron que en realidad son los "mismos" objetos. Esto facilitó nuestros cálculos. El problema es que realmente no son los mismos objetos. En mi opinión, el hecho de que tengamos una forma canónica de asociar a cada tupla un segmento de línea orientado y a cada segmento de línea orientado una tupla (una vez que se ha elegido una base para los segmentos de línea orientados) no significa que no necesitemos definir nuestros productos sobre estos objetos individualmente . Es hace significa que después de hacerlo, necesitamos confirmar que los productos son equivalentes en sus respectivos espacios. En este tratado, intentaré dar una definición tanto algebraica como geométrica para cada uno de nuestros productos.

Tanto el conjunto de $n$ -y el conjunto de segmentos de línea orientados en $n$ -Los espacios euclidianos de tres dimensiones (junto con las operaciones habituales sobre esos conjuntos) son espacios de producto interno sobre el campo de los números reales. Eso sólo significa que son espacios vectoriales, con un producto interior (llamado producto punto), y los escalares por los que podemos multiplicar estos vectores son números reales.

Ahora vamos a repasar qué son exactamente las tuplas y los segmentos de línea orientados.

Tuples:

Estos son nuestros vectores puramente algebraicos. Un $n$ -es simplemente una lista ordenada de $n$ números reales. Por ejemplo, el espacio de $4$ -tuplas, denotadas como $\Bbb R^4$ es el conjunto de todos los objetos del tipo $(w,x,y,z)$ donde $w,x,y,z \in \Bbb R$ . Este es un $4$ -espacio vectorial sobre los números reales.

La forma en que añadimos y escalamos las tuplas es por componentes. Es decir $$(x_1, x_2, \dots, x_n) + (y_1, y_2, \dots, y_n) = (x_1+y_1, x_2+y_2, \dots, x_n+y_n) \\ \alpha(x_1, \dots, x_n) = (\alpha x_1, \dots, \alpha x_n)$$

Una de las propiedades interesantes de $\Bbb R^n$ es que viene equipado con un natural base ortonormal. Por ejemplo, en $\Bbb R^4$ esa base es $\{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}$ . Pronto podremos ver que la norma de cualquiera de estos vectores es $1$ .

En lugar de escribir $n$ -tuplas como listas ordenadas con paréntesis y comas, a menudo es más conveniente escribirlas como matrices de filas o columnas: $$(1,2,3) \leftrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3\end{bmatrix} \leftrightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}$$

La forma en que elijamos escribir los números no importa cuando se trata de la multiplicación escalar o la suma de vectores, sin embargo, la ventaja de escribir las tuplas como matrices es que realizar cualquier transformación lineal sobre una tupla es equivalente a multiplicar una matriz de filas (o columnas) por una única $n\times m$ (o $m\times n$ ).

Segmentos de línea orientados:

Los segmentos de línea orientados, también conocidos como vectores de traslación, son los elementos del espacio euclidiano. Voy a llamar a este espacio $\Bbb L^n$ ( $\Bbb L$ para " línea segmento"). Esta no es una notación estándar, sólo es la que a mí me gusta. Estos objetos se caracterizan por una longitud y una dirección específicas.

La suma de vectores en este caso viene dada por la regla del paralelogramo

y la multiplicación escalar se realiza escalando la longitud del segmento de línea, conservando su orientación si se escala por un número $\gt 0$ o negando su orientación si se escala por un número $\lt 0$

Observa que no he dicho nada aquí sobre la ubicación de un vector. Esto se debe a que los segmentos de línea orientados no tienen ninguna ubicación intrínseca, simplemente existen en el espacio.

Hay algunas cosas interesantes sobre estos vectores. Por un lado, cada vector está especificado en parte por su norma, lo que se conoce como su longitud. Así, mientras que en la mayoría de los espacios de producto interno el producto interno induce una norma, en este espacio la norma existe sin necesidad de especificar nunca un producto interior, aunque definiremos uno dentro de poco -- el producto punto. Otras propiedades interesantes que son más fundamentales que en espacios vectoriales menos geométricos son los ángulos entre vectores y las ideas de paralelismo y perpendicularidad. Todas estas cosas existen incluso sin definir el producto punto.

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El producto punto

El producto punto es el producto interno de $\Bbb R^n$ y $\Bbb L^n$ .

La definición algebraica:

El producto punto en $\Bbb R^n$ se define de la siguiente manera: dado $v,w \in \Bbb R^n$ donde $v=(v_1, \dots, v_n)$ y $w=(w_1, \dots, w_n)$ el producto punto, denotado $v \cdot w$ se define por $$v\cdot w = \sum_{i=1}^n v_iw_i = v_1w_1 + v_2w_2 + \cdots + v_nw_n$$

La idea aquí es incluso se generaliza bastante bien a las funciones de valor real de una varible real .

La definición geométrica:

Voy a definir el producto punto de dos vectores $\vec v, \vec w \in \Bbb L^n$ de una forma ligeramente atípica. En mi opinión, esta definición es más intuitiva geométricamente.

Defino el producto punto, $\vec v \cdot \vec w$ , por $$\vec v \cdot \vec w = \operatorname{sproj}_{\vec w}(\vec v)\|\vec w\| = \operatorname{sproj}_{\vec v}(\vec w)\|\vec v\|$$

Donde el proyección escalar operación, $\operatorname{sproj}$ se define por $$\operatorname{sproj}_{\vec w}(\vec v) = \begin{cases}\|\operatorname{proj}_{\vec w}\vec v\|, & \text{the angle between $\vec v$ and $\vec w$ is $\le \frac {\pi}2$} \\ -\|\operatorname{proj}_{\vec w}\vec v\|, & \text{the angle between $\vec v$ and $\vec w$ is $\gt \frac {\pi}2$}\end{cases}$$

Aquí $\|\vec v\|$ denota la longitud del vector $\vec v$ y $\operatorname{proj}_{\vec w}\vec v$ es la proyección del vector $\vec v$ en el subespacio $\operatorname{span}(\vec w)$ . Por lo tanto, defino el producto punto en términos de longitud y proyección ortogonal y no al revés. ( Nota : Cómo defino la proyección ortogonal para el espacio particular $\Bbb L^n$ sin hacer uso del producto punto está fuera del alcance de esta respuesta).

Aunque espero que mi definición del producto punto en $\Bbb L^n$ se pone de moda y empiezo a verlo en todos los nuevos textos de álgebra lineal ;), probablemente debería mencionar la definición estándar. La definición estándar del producto punto en $\Bbb L^n$ es $$\vec v \cdot \vec w = \|\vec v\|\|\vec w\|\cos(\theta)$$ Se puede ver que esto es equivalente a mi definición porque la longitud sinusoidal de $\operatorname{proj}_{\vec w}\vec v$ es $\|\vec v\|\cos(\theta)$ . Puede verlo en esta imagen

Por lo tanto, se podría argumentar que la definición $\vec v \cdot \vec w = \|\vec v\|\|\vec w\|\cos(\theta)$ es sólo una versión más compacta de mi propia definición. Hago esa concesión, pero en mi mente una asociación directa del producto punto y las proyecciones es la forma más intuitiva de definirlo.

Propiedades algebraicas:

Ambos productos punto comparten algunas propiedades algebraicas importantes. Todas ellas se pueden demostrar a partir de las definiciones. Me limitaré a enumerarlas aquí. Dados cualesquiera vectores $u,v,w$ en o bien $\Bbb R^n$ o $\Bbb L^n$ y cualquier $k\in \Bbb R$ :

$$\begin{array}{lcr} (1) & u \cdot v = v\cdot u & \left(\text{commutativity}\right) \\ (2) & u\cdot(v+w) = u\cdot v + u\cdot w & \left(\text{distributivity}\right) \\ (3) & k(u\cdot v) = (ku)\cdot v = u\cdot (kv) & \left(\begin{array}{c}\text{interacts well with} \\ \text{scalar multiplication}\end{array}\right)\end{array}$$

Aplicaciones:

Una de las principales ventajas matemáticas de definir un producto interior es que induce una norma en el espacio vectorial. Como se ha mencionado anteriormente, $\Bbb L^n$ viene preequipado con una norma, pero $\Bbb R^n$ no lo hace. Así que en $\Bbb R^n$ la norma de un vector $x$ se define por $\|x\| = \sqrt{x\cdot x}$ . Dejo como ejercicio para el lector confirmar que el producto punto sobre $\Bbb R^n$ es positiva definida, y por lo tanto no necesitamos preocuparnos por un negativo bajo el radical.

Otra aplicación importante es que el producto punto proporciona una forma conveniente de definir la ortogonalidad en $\Bbb R^n$ y la comprobación de la ortogonalidad (perpendicularidad) en $\Bbb L^n$ . Definimos la ortogonalidad, denotada $v\ \bot\ w$ , en $\Bbb R^n$ por $$v\ \bot\ w \iff v\cdot w = 0$$

El producto punto es útil en física cuando sólo se desea conocer las componentes de un vector en una dirección concreta. Por ejemplo, el trabajo a lo largo de una línea recta se define como $W = \vec F \cdot \vec r$ en un campo gravitatorio. $\vec F$ es sólo la fuerza debida a la gravedad, donde $\vec F=-mg\,\hat e_3$ y $\vec r$ es el vector que describe la trayectoria en línea recta de una partícula. Pero al calcular el trabajo, en realidad sólo nos importa la proyección de $\vec r$ en la dirección de la fuerza ( $-\,\hat e_3$ en este caso). Por lo tanto, tiene sentido que utilicemos el producto punto para definirlo.

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El producto Cross

Definición algebraica:

El producto cruzado se define como el vector único $b\times c\in \Bbb R^3$ tal que $$a\cdot (b\times c) = \det(a,b,c),\quad \forall a\in\Bbb R^3$$ Se trata de una definición implícita. Sin embargo, se puede demostrar que es equivalente a $b\times c= (b_2c_3-b_3c_2,\ b_3c_1-b_1c_3,\ b_1c_2-b_2c_1)$ .

Nota: No lo hago directamente definir $b\times c$ como el vector $(b_2c_3-b_3c_2,\ b_3c_1-b_1c_3,\ b_1c_2-b_2c_1)$ porque $(1)$ es más difícil de recordar que mi definición y $(2)$ mi definición indica inmediatamente a los lectores que están familiarizados con los determinantes varias propiedades del producto cruzado, por ejemplo que $v\ \bot\ v\times w$ para todos $v,w\in \Bbb R^3$ y $v\times w = -w\times v$ para todos $v,w\in\Bbb R^3$ .

Fórmula explícita para el producto cruzado:

Lema de unicidad : Si $v$ y $v'$ son dos vectores en $\Bbb R^3$ tal que $a\cdot v = \det(a,b,c) = a\cdot v',\ \forall a\in \Bbb R^3$ entonces $v=v'$ .

Prueba : Resta $a\cdot v' = \det(a,b,c)$ de $a\cdot v = \det(a,b,c)$ para conseguir $$a\cdot v-a\cdot v' = 0,\quad \forall a \\ \implies a\cdot(v-v')=0,\quad \forall a \\ \implies a\ \bot\ (v-v'),\quad \forall a$$

Pero el único vector ortogonal a $a$ para todos $a$ es el vector cero. Así, $$v-v'=0 \\ \implies v=v'$$ Por lo tanto, si cualquier vector $v$ satisface la ecuación $a\cdot v= \det(a,b,c),\ \forall a$ entonces es único. $\ \ \ \square$

Por lo tanto, sólo tenemos que demostrar que $b\times c = (b_2c_3-b_3c_2,\ b_3c_1-b_1c_3,\ b_1c_2-b_2c_1)$ es un vector que satisface la definición para demostrar que se trata del único producto cruzado definido anteriormente.

Lema : $$(a_1, a_2, a_3)\cdot (b_2c_3-b_3c_2,\ b_3c_1-b_1c_3,\ b_1c_2-b_2c_1) = \det\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{bmatrix}$$

Prueba : En el lado izquierdo obtenemos $$(a_1, a_2, a_3)\cdot (b_2c_3-b_3c_2,\ b_3c_1-b_1c_3,\ b_1c_2-b_2c_1) = a_1(b_2c_3-b_3c_2) + a_2(b_3c_1-b_1c_3) + a_3(b_1c_2-b_2c_1)$$ En el lado derecho, expandiendo a lo largo de la columna de la izquierda, obtenemos $$\begin{align}\det\begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{bmatrix} &= a_1\left|\begin{matrix} b_2 & c_2 \\ b_3 & c_3\end{matrix}\right| - a_2\left|\begin{matrix} b_1 & c_1 \\ b_3 & c_3\end{matrix}\right| + a_3\left|\begin{matrix} b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{matrix}\right| \\ &= a_1(b_2c_3-b_3c_2) - a_2(b_1c_3-b_3c_1) + a_3(b_1c_2-b_2c_1) \\&= a_1(b_2c_3-b_3c_2) + a_2(b_3c_1-b_1c_3) + a_3(b_1c_2-b_2c_1)\end{align}$$

Esto demuestra que $b\times c= (b_2c_3-b_3c_2,\ b_3c_1-b_1c_3,\ b_1c_2-b_2c_1)$ es de hecho un vector que satisface nuestra definición. $\ \ \ \ \square$

Por lo tanto, este es el único producto cruzado que satisface la definición.

Definición geométrica:

Para definir un producto en $\Bbb L^3$ simplemente tenemos que definir la longitud y la orientación del producto en términos de los vectores de entrada. Esta es nuestra definición:

Dados dos vectores $\vec v, \vec w\in \Bbb L^3$ definimos un tercer vector $\vec v \times \vec w$ como el vector cuya longitud viene dada por el área del paralelogramo de lados $\vec v$ y $\vec w$ y cuya dirección es ortogonal a ambos $\vec v$ y $\vec w$ según la regla de la derecha.

Lema: $$\|\vec a\times \vec b\|=\|\vec a\|\|\vec b\|\sin(\theta)$$ donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores $\vec a, \vec b \in \Bbb L^3$ .

Prueba: Primero recordamos un hecho de la geometría: para áreas transversales constantes, el área total viene dada por "la base por la altura". Esto es una consecuencia directa de El principio de Cavalieri . Entonces de la siguiente imagen:

podemos ver que la base es $\|\vec b\|$ y la altura es $\|\vec a\|\sin(\theta)$ . Por lo tanto, el área del paralelogramo - y por lo tanto la longitud del vector $\vec a \times \vec b$ -- es $\|\vec a\|\|\vec b\|\sin(\theta)$ . $\ \ \ \ \square$

Propiedades algebraicas:

Ambos productos cruzados comparten algunas propiedades algebraicas importantes. Todas ellas se pueden demostrar a partir de las definiciones. Me limitaré a enumerarlas aquí. Dados cualesquiera vectores $u,v,w$ en o bien $\Bbb R^n$ o $\Bbb L^n$ y cualquier $k\in \Bbb R$ :

$$\begin{array}{lcr} (1) & u \times v = -v\times u & \left(\text{anticommutativity}\right) \\ (2) & u\times(v+w) = u\times v + u\times w & \left(\text{distributivity}\right) \\ (3) & k(u\times v) = (ku)\times v = u\times (kv) & \left(\begin{array}{c}\text{interacts well with} \\ \text{scalar multiplication}\end{array}\right) \\ (4) & u\times(v\times w) + v\times(w\times u) + w\times(u\times v) = 0 & \left(\text{Jacobi identity}\right)\end{array}$$

Una propiedad más, que en realidad es una consecuencia de la anticomutatividad del producto cruzado (¿puedes demostrarlo?), es que para cualquier vector $v$ tenemos $v\times v=0$ .

Una propiedad importante que el producto cruzado no lo hace es la asociatividad. Consideremos los productos triples $u\cdot (v\cdot w)$ y $u\times (v\times w)$ . Sin mucho esfuerzo podemos ver que $u\cdot (v\cdot w)$ es indefinido. Esto se debe a que $v\cdot w$ es un escalar y entonces el producto punto de un vector y un escalar no está definido por nuestra definición anterior. Sin embargo, $u\times (v\times w)$ es definida. Sabiendo que está definido, nuestra siguiente pregunta debería ser "¿son necesarios los paréntesis?" Sí. En general, $u\times (v\times w)$ no es igual a $(u\times v)\times w$ .

Aplicaciones:

El significado matemático y físico del producto cruzado, $v\times w$ es que proporciona un vector ortogonal al plano, $\operatorname{span}(v,w)$ .

Por ejemplo, utilizando otro ejemplo de física, podemos determinar experimentalmente que una partícula cargada que se mueve a través de un campo magnético constante sentirá instantáneamente una fuerza en una dirección ortogonal tanto a la dirección en la que se mueve en ese instante como a la dirección del campo magnético. Así que no debería sorprenderte que la definición de la fuerza magnética sea $\vec F_m = q(\vec v\times \vec B)$ que no es más que el producto cruzado del vector velocidad $\vec v$ (que apunta en la dirección en que se mueve la partícula) y el (pseudo)vector del campo magnético $\vec B$ , escalado por algún número $q$ .

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La verdad sobre el producto Cross

Sin embargo, el producto cruzado es realmente un producto terrible. Vamos a enumerar algunas de las razones.

1. No es conmutativo, pero como es anticonmutativo no es un gran problema. Las cosas anticonmutativas son bastante útiles en matemáticas (y en física).
2. No es asociativo, pero obedece a la identidad de Jacobi, así que supongo que está bien. Sin embargo, no es genial.
3. Lo que obtenemos del producto cruzado no es realmente un vector. Es sólo un simulacro. Es un objeto que se parece mucho a un vector, pero que no se comporta bien bajo las reflexiones. Si te interesa, pregunta a tu profesor sobre esto. El nombre de este tipo de objeto es pseudo vectorial.
   Nota: el hecho de que el producto cruzado de dos vectores no es un El vector no es realmente un problema. Después de todo, el producto punto tampoco es . El problema es que no existe una norma notación que distingue pseudovectores a partir de vectores. Así que sólo tienes que mantener en mente qué tipo de objeto con la que estás trabajando.
4. Pero el mayor problema, lo más horrible del producto cruzado es que es sólo se define en $3$ dimensiones . Eso es terrible. El álgebra lineal funciona en cualquier dimensión finita (el álgebra lineal de dimensión infinita se llama análisis funcional) pero tenemos un producto que sólo funciona en $3$ -¿dimensiones? Este no es un buen producto.

Sinceramente, me asombra que sigamos usándolo hasta hoy. Realmente el producto cruzado debería ser sustituido por otra cosa: el producto de cuña .

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El producto de la cuña

Hablemos del producto de la cuña. Una cosa que hay que tener en cuenta en esta sección es que no voy a dar una definición algebraica. Eso no es porque no haya una, simplemente requiere un poco más de matemáticas de lo que estoy dispuesto a creer que OP entenderá. Y lo que es más importante, no es necesario. Mientras podamos determinar la clave algebraica propiedades del producto de la cuña, tendremos todo lo que necesitamos para trabajar con él.

Motivación geométrica:

En primer lugar, repasemos algunas de las propiedades de los vectores en $\Bbb L^n$ . Estos elementos son segmentos de línea orientados. Esto significa que cada vector $\vec v\in \Bbb L^n$

1. tiene una longitud específica, denotada $\|\vec v\|$
2. es paralelo a un único línea que pasa por el origen (excepto el vector cero, pero el cero tiene propiedades extrañas en cualquier conjunto de objetos)
3. puntos en una de las dos direcciones a lo largo de esa línea

Los vectores (segmentos de línea) pueden ser escalados por números y sumados con la regla del paralelogramo:

Podríamos hacer una definición similar para la orientación avión segmentos. Estos bivectores serían elementos de un espacio denotado $\Lambda \Bbb L^3$ . Un bivector $B$ es un objeto que

1. tiene un zona , denotado como $\|B\|$
2. es paralelo a un único plano que contiene el origen (excepto el bivector cero)
3. tiene una de las dos orientaciones que son un poco más difíciles de visualizar que con los segmentos de línea

Los bivectores (que pueden visualizarse como paralelogramos en el espacio) pueden escalarse mediante números y sumarse a través de una versión generalizada de la regla del paralelogramo:

No encuentro una imagen de la multiplicación escalar de un bivector, pero basta con imaginar que un paralelogramo se hace más grande (escalando por un número cuyo valor absoluto es $\gt 1$ ) o menor (escalando por un número cuyo valor absoluto es $\lt 1$ ).

También podemos imaginar objetos de mayor dimensión, como trivectores, etc. Un trivector no es más que un volumen segmento (un paralelepípedo con una orientación). Aquí tienes una pequeña imagen para que veas cómo progresan estos objetos:

Definición geométrica:

El producto cuña es la operación que utilizamos para hacer bivectores a partir de vectores.

Dados dos vectores $\vec v,\vec w\in \Bbb L^n$ definimos el bivector $\vec v \wedge \vec w\in \Lambda \Bbb L^n$ como el segmento plano orientado cuya área(/norma) es igual al área del paralelogramo de lados $\vec v$ y $\vec w$ cuya dirección es paralela al plano $\operatorname{span}(\vec v, \vec w)$ (si se trata de un avión, en caso contrario $\vec v \wedge \vec w = 0$ ), y cuya orientación viene dada por el orden de los factores. Aquí tienes una imagen que te ayudará a visualizarlo:

Eso es todo lo que necesitamos para definir de forma única un bivector. Una dimensión más alta $n$ -se definen de forma análoga.

Propiedades algebraicas:

Este producto cuña tiene algunas propiedades algebraicas importantes. Todas ellas se pueden demostrar a partir de la definición. Me limitaré a enumerarlas aquí. Dados cualesquiera vectores $u,v,w$ en o bien $\Bbb R^n$ o $\Bbb L^n$ y cualquier $k\in \Bbb R$ :

$$\begin{array}{lcr} (1) & u \wedge v = -v\wedge u & \left(\text{anticommutativity}\right) \\ (2) & u\wedge(v\wedge w) = (u\wedge v)\wedge w & \left(\text{associativity}\right) \\ (3) & u\wedge(v+w) = u\wedge v + u\wedge w & \left(\text{distributivity}\right) \\ (4) & k(u\wedge v) = (ku)\wedge v = u\wedge (kv) & \left(\begin{array}{c}\text{interacts well with} \\ \text{scalar multiplication}\end{array}\right)\end{array}$$

Una propiedad más, que en realidad es una consecuencia de la anticomutatividad del producto cuña (¿puedes demostrarlo?), es que para cualquier vector $v$ tenemos $v\wedge v=0$ .

También hay que tener en cuenta que este producto se define en $\Bbb L^n$ o $\Bbb R^n$ para cualquier $n$ (¡yay!).

Aplicaciones:

La mayor aplicación del producto de la cuña, y la $n$ -vectores que genera, es en la representación de subespacios de $\Bbb R^n$ y $\Bbb L^n$ como elementos de $\Lambda \Bbb R^n$ y $\Lambda L^n$ respectivamente.

Una de las consecuencias de esta propiedad de representación es que podemos definir el determinante de una transformación lineal $f: \Bbb R^n \to \Bbb R^n$ como $$f(v_1) \wedge f(v_2) \wedge \cdots \wedge f(v_n) = \det(f)v_1\wedge v_2 \wedge \cdots \wedge v_n$$ donde $v_1, \dots, v_n$ son $n$ vectores linealmente independientes en $\Bbb R^n$ . Intuitivamente esto sólo dice que la transformación lineal $f$ escala el volumen (con signo) de un $n$ -paralelótropo por un factor de $\det(f)$ .

También podemos sustituir todos los casos del producto cruzado en física por el producto cuña (o una combinación del producto cuña y una generalización del producto punto que se define en $n$ -vectores) - posiblemente con alguna modificación - para obtener fórmulas que funcionen no sólo en $\Bbb R^3$ pero también en $4$ -El espacio euclidiano de dimensiones (útil en la mecánica clásica avanzada) y el espacio de Minkowski (útil en la relatividad especial/general). Personalmente, también creo que estas nuevas fórmulas son más intuitivas que las estándar, una vez que se entienden las matemáticas necesarias (por ejemplo, el campo magnético bivector me parece mucho más lógico que los campos (pseudo)vectoriales magnéticos).

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La relación entre el producto cruzado y el producto en cuña

Te he dicho que el producto en forma de cruz debe ser sustituido por este producto en forma de cuña, pero no he contado realmente cuál es la relación entre ambos.

La relación exacta entre ellos es algo que se llama dualidad (en $\Bbb R^3$ y $\Bbb L^3$ sólo ), y haría falta aún más matemáticas para explicarlo. Como esto ya es un post larguísimo, me limitaré a mostrar un par de formas en las que están relacionadas.

Lo primero que quiero señalar es que conocemos el producto cruzado $a\times b$ tiene una longitud igual al área del paralelogramo de lados $a$ y $b$ . Pero recuerde que definimos el zona del producto de la cuña $a\wedge b$ a también sea el área del paralelogramo de lados $a$ y $b$ . Así, $\|a\times b\| = \|a\wedge b\|$ .

Pero la norma no lo es todo. Veamos los componentes. Recordemos que los componentes del producto cruzado (una vez que se resuelve todo) es $$a\times b= (\color{red}{a_2b_3-a_3b_2})e_1 + (\color{purple}{a_3b_1-a_1b_3})e_2 +(\color{blue}{a_1b_2-a_2b_1})e_3$$ donde $\{e_1, e_2, e_3\}$ es una base ortonormal para $\Bbb R^3$ o $\Bbb L^3$ . Vamos a calcular los componentes del producto de la cuña utilizando nuestras reglas anteriores: $$\begin{align} a\wedge b &= (a_1e_1 + a_2e_2 + a_3e_3)\wedge (b_1e_1 + b_2e_2 + b_3e_3) \\ &= (a_1b_1)e_1\wedge e_1 + (a_1b_2)e_1\wedge e_2 + (a_1b_3)e_1\wedge e_3 + (a_2b_1)e_2\wedge e_1 + (a_2b_2)e_2\wedge e_2 + (a_2b_3)e_2\wedge e_3 + (a_3b_1)e_3\wedge e_1 + (a_3b_2)e_3\wedge e_2 + (a_3b_3)e_3\wedge e_3 \\ &= 0 + (a_1b_2)e_1\wedge e_2 + (-a_1b_3)e_3\wedge e_1 + (-a_2b_1)e_1\wedge e_2 + 0 + (a_2b_3)e_2\wedge e_3 + (a_3b_1)e_3\wedge e_1 + (-a_3b_2)e_2\wedge e_3 + 0 \\ &= (\color{red}{a_2b_3-a_3b_2})e_2\wedge e_3 + (\color{purple}{a_3b_1-a_1b_3})e_3\wedge e_1 + (\color{blue}{a_1b_2-a_2b_1})e_1\wedge e_2\end{align}$$

Así que puedes ver que en $\Bbb R^3$ y $\Bbb L^3$ El producto cuña y el producto cruz tienen exactamente los mismos componentes. Por lo tanto, si quisieras crear el producto cruzado a partir del producto cuña, sólo tendrías que hacer la operación $$\pmatrix{e_2\wedge e_3 \\ e_3\wedge e_1 \\ e_1 \wedge e_2} \mapsto \pmatrix{e_1 \\ e_2 \\ e_3}$$

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Nota rápida sobre otros productos

Los productos punto, cruz y cuña no son los únicos productos que podemos definir sobre vectores euclidianos. Ni mucho menos.

Para un precursor históricamente más relevante de los productos modernos, eche un vistazo al Producto de Hamilton de cuaterniones .

Los dos productos más importantes sobre vectores euclidianos que aún no he tratado son el producto geométrico y el producto tensorial . Tanto el producto geométrico como el tensorial contienen el producto cuña como subproductos. Sin embargo, estos productos requieren un material matemático que va mucho más allá de lo que quiero cubrir en este tratado, por lo que me limitaré a proporcionar referencias.

Para obtener información sobre el producto geométrico y el álgebra (sobre el campo de los reales) que crea, recomiendo cualquiera de los libros Álgebra lineal y geométrica de Alan Macdonald o Del álgebra de Clifford al cálculo geométrico por David Hestenes y Garret Sobczyk. El libro de Macdonald es estupendo si nunca has hecho un curso de álgebra lineal. Si lo has hecho, probablemente puedas manejar el libro más avanzado de Hestenes y Sobczyk.

Para obtener información sobre el producto tensorial, le recomiendo que eche un vistazo al libro Introducción a los vectores y tensores, volumen I por Ray Bowen y C. Wang. Los dos últimos capítulos ofrecen una buena introducción al álgebra tensorial y, si te decides a comprar el segundo volumen, tendrás también un buen texto sobre cálculo en variedades.