Dar un ejemplo de un simple conjunto ordenado sin la menor cota superior de la propiedad.

Question

En el Teorema de 27.1 en la Topología de Munkres, indica que "Deje $X$ ser simplemente el conjunto ordenado de tener al menos el límite superior de la propiedad. En el orden de la topología, cada intervalo cerrado en $X$ es compacto."

(La LUB de la propiedad es si es un subconjunto acotado de arriba, a continuación, tiene una LUB.)

No entiendo cómo se puede tener simplemente un conjunto ordenado (una cadena) SIN la LUB de la propiedad. Si un subconjunto es limitado y es una cadena, entonces ¿cómo puede no tener un LUB? Alguien puede dar un ejemplo?

Gracias!

Answer 1

$\Bbb Q$

Añadido: $\{q\in\Bbb Q:q<\sqrt2\}$ es una cadena, es acotada arriba por $2$, dicen, y no tiene menos de límite superior en $\Bbb Q$, debido a $\sqrt2$ es irracional.

Answer 2

Considere la posibilidad de $(-1,0)\cup(0,1)$ natural con la orden (que es lineal). $(-1,0)$ no tiene menos de límite superior, aunque es limitada (por ejemplo. por $1/2$).

Answer 3

$\{0,1\}\times\Bbb Z$ ordenados lexicográficamente. El subconjunto $\{0\}\times\Bbb N$ está delimitada desde arriba, pero no tiene menos de límite superior.

Answer 4

Hasta el isomorfismo, la mínima ejemplo es el conjunto $$ \left\{-\frac{1}{n}\;;\;n\geq 1\right\}=-\frac{1}{\mathbb{N}^*}\quad\mbox{in}\quad\frac{1}{\mathbb{Z}^*}=\left\{\frac{1}{n}\;;\;|n|\geq 1\right\} $$ con la obvia pedido.

Answer 5

De acuerdo a las estrictas definiciones dadas por el OP, el conjunto null no tienen un Mínimo de límite Superior, mientras que todavía siendo simplemente ordenó.

La menor cota Superior de un conjunto, tal como se define en la página de la Wikipedia que los enlaces a que requiere ser miembro de ese conjunto. El conjunto null, no tener miembros, claramente carece de una LUB.

Sin embargo, la definición dada por ser simplemente ordenó que no requiere que el conjunto tiene alguno de los elementos. De hecho, un conjunto puede sólo falta la propiedad, si tiene un par de elementos que son no comparables.

Así, la nula conjunto es, de hecho, Simplemente pedir sin tener la menor cota Superior de la propiedad.