Demostrar que $\int_a^cf(x)\mathrm{d}x+(c-a)g(c)=\int_c^bg(x)\mathrm{d}x+(b-c)f(c)$

Question

Dejemos que $f$ , $g$ sean funciones reales continuas en $[a,b]$ . Demostrar que hay $c\in(a,b)$ tal que

$$\int_a^cf(x)\mathrm{d}x+(c-a)g(c)=\int_c^bg(x)\mathrm{d}x+(b-c)f(c)$$

¿Qué me sugiere que haga aquí? Gracias.

Answer 1

Consideremos la función $$H(x)=(b-x)\int_a^xf+(x-a)\int_x^bg$$ Esto es $C^1$ y $H(a)=H(b)=0$ .

Así que por Rolle, existe $c\in (a,b)$ tal que $H'(c)=0$ .