Estoy tratando de probar que: Dado un $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ si $f(f(x))=-x$ a continuación, $f$ no es continua?
alguna ayuda?
Gracias!
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Jean-Claude Arbaut
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En primer lugar, $f$ es un bijection, ya que de lo contrario tendríamos para $x \neq y$, $f(x)=f(y)$ a continuación,$-x=f(f(x))=f(f(y))=-y$, contradicción.
Ahora, un continuo bijection de $\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$es monótono.
Vamos a suponer que el aumento, y $x<y$. A continuación,$f(x)<f(y)$, e $f(f(x))<f(f(y))$$-x<-y$$x>y$, contradicción.
Por ello debe de estar disminuyendo, pero a continuación, para $x<y$, $f(x)>f(y)$, a continuación,$f(f(x))<f(f(y))$, lo $-x<-y$, e $x>y$. De nuevo una contradicción.
Por lo tanto, su función no puede ser continua.
Joe Gauterin
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El argumento general es así.
[afirmación 1] Dados cualesquiera dos funciones $\varphi : U \to V, \psi : V \to W$ sabemos:
- Si $\psi \circ \varphi$ es inyectiva, entonces $\varphi$ es inyectiva.
-
Si $\psi \circ \varphi$ es surjective, a continuación, $\psi$ es surjective.
Así que para cualquier $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f(f(x)) = -x$, $f \circ f$ bijective implica $f$ bijective.
[afirmación 2] Si $f$ es continua y bijective, entonces será estrictamente monótona creciente o estrictamente monótona decreciente de la función.
[afirmación 3] En ambos casos, $f\circ f$ será estrictamente monótona creciente.
[conclusión] Ya que la función $x \mapsto -x$ no $f$ no puede ser continua.
El mismo argumento muestra que para cualquier $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ si $g \circ g$ es estrictamente montonic disminuyendo y bijective, a continuación, $g$ no puede ser continua.
Se puede convencer a sí mismos por qué afirmaciones 1, 2, 3 son verdaderas?
