Cómo mostrar que $C=C[0,1]$ es un espacio de Banach

Question

Deje $C=C[0,1]$ ser el espacio de todas las funciones continuas en $[0,1]$. Definir $\|f \|=\max \ |f(x)|$. Quiero mostrar que la $C$ es un espacio de Banach.

A continuación es mi intento y me preguntaba si es ok.

Sé que tengo que mostrar que $C$ es una completa normativa espacio.
Claramente, $\|f\| \geqslant 0$ y $\|f\|=0 \Leftrightarrow f=0$. $\|cf \|=\max~|cf(x)|=|c|\max |f(x)|=|c| \cdot \|f\|$.
$\|f+g\|=\max~|f(x)+g(x)|\leq \max~|f(x)|+\max~|g(x)|=\|f\|+ \|g\|$.
Por lo $C$ es una normativa espacio.

A continuación, muestran que cada secuencia de Cauchy en $C$ es convergente.
Deje $\{f_n\}$ ser una secuencia de Cauchy en $C$.
Deje $\varepsilon \gt 0.$ $\exists$ $N_1$ tal que $$ \max~|f_n(x)-f_m(x)| \lt \frac{\varepsilon}{2}$$ para$n, m \gt N_1$$x\in[0,1]$.

Pero hay una larga $f_{k_n} $, que converge a $f$. Por lo $\exists$ $N_2$ tal que $$ \max~\left|f_{k_n} - f\right|\lt \frac{\varepsilon}{2}$$ para cada una de las $n\gt N_2$.

Ahora Vamos a $N = \max\{N_1, N_2\}$ si $n \gt N$$k_n \geqslant n\gt N$. Así tenemos $$ \max~\left|f_n(x) - f(x)\right| \leqslant \max~\left|f_n - f_{k_n}\right| + \max~\left| f_{k_n} - f\right| \lt\frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.$$ Por lo tanto, $\|f_n-f\| \to 0$ $n\to \infty$. $\quad \square$

Gracias.

Answer 1

De donde sacas esta subsequence $\{f_{n_k}\}_k$? Desde una secuencia de Cauchy es convergente si y sólo si tiene un convergentes larga, básicamente estás suponiendo que el resultado es verdadero aquí.

He aquí una prueba de que $C[0,1]$ es completa (y por lo tanto un espacio de Banach):

Supongamos $\{f_n\}$ es de Cauchy en $C[0,1]$. Debemos mostrar ese $f_n$ converge en el $C[0,1]$ norma para un $f$$C[0,1]$.

En primer lugar, identificar el "candidato natural" para $f$:

Desde $\{f_n\}$ es de Cauchy en $C[0,1]$, se deduce que el $\{f_n(x)\}$ es de Cauchy en $\Bbb R$ por cada $x\in[0,1]$. Esta observación, junto con el hecho de que $\Bbb R$ es completa, nos da la bien definida la función $f:[0,1]\rightarrow\Bbb R$ cuya regla es $f(x)=\lim f_n(x)$.

Dado que los términos de $\{f_n\}$ obtener de manera uniforme cerca el uno del otro, esperamos que $f$ uniformemente cerca de $f_m$ grandes $m$:

Ahora vamos a $\epsilon>0$ y elija $M$, de modo que $\|f_n-f_m\|_{C[0,1]}<\epsilon$$n, m\ge M$. A continuación, para cada una de las $m>M$ cualquier $x\in[0,1]$: $$ \etiqueta{1} |f(x)-f_m(x)|=\lim_{n\rightarrow\infty}|f_n(x)-f_m(x)|\le \lim_{n\rightarrow\infty}\|f_m-f_n \|_{C[0,1]}\le\epsilon. $$

Y terminamos con algo de mano que se agita, que no debería parecer arcano a alguien el estudio de los espacios de Banach:

De $(1)$, se deduce que el $f_n$ converge uniformemente a$f$$[0,1]$. De esto se sigue que el $f\in C[0,1]$ (un límite uniforme de funciones continuas es continua) y que $f_n$ converge a$f$$C[0,1]$.

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Edit: Un comentario anterior me lleva a manifestar:

$f$ es de hecho continua: Dado $x\in[0,1]$$\epsilon>0$, elija $m$, de modo que $||f_n-f\,||_{C[0,1]}<\epsilon/3$ $n\ge m$ y elija $\delta>0$ tal que $|f_m(x)-f_m(y)|\le \epsilon/3$ todos los $y$. Entonces si $|x-y|<\delta$: $$ |f(x)-f(y)| \le|f(x)-f_m(x)|+|f_m(x)-f_m(y)|+|f_m(y)-f(y)|<\epsilon. $$

Answer 2

Deje $f_{n}$ ser arbitraria secuencia de Cauchy en $C[0,1]$.

Luego de un fijo $t\in C[0,1]$ $$|f_{n}(t)-f_{m}(t)|< \epsilon \text{ for all $m,n>N$ a natural number}$$

Eso significa que $f_{n}$ es una secuencia de Cauchy en el conjunto de los números reales. Y puesto que el conjunto de los reales es completa, no existe $f(t_{0})\in \Bbb R$ tal que $f_{n}\to f(t_{0})$ $n\to \infty$ $t_{0}$ arbitrarias en $C[0,1]$.

Para $m\ge n$, y permitiendo n para ir hasta el infinito, tenemos $$\max_{t \in{[0,1]}}|f(t)-f_{m}(t)|<\epsilon$$ $$\implies \|f-f_{m}\|<\epsilon$$

Para todos los $n$ más grande que un número natural $N$.

Por lo tanto, $f_{n}\to f$$n \to \infty$.

Desde aquí se puede utilizar la convergencia uniforme para mostrar que $f$ $C[0,1]$

Answer 3

La forma habitual para demostrar que $X$ compacto Hausdorff $\implies C(X,\mathbb K)$ es un espacio de Banach sobre $\mathbb K$ va en dos pasos:

1. Mostrar que $B(X) := \ell^\infty(X,\mathbb K) = \{f \in \mathbb K^X \mid f$ está delimitado $\}$ es un espacio de Banach w.r.t. el sup-norma.
2. Mostrar que el límite uniforme de una secuencia de funciones que son continuas en un punto es continua en ese punto. De esto se sigue que $C(X)$ es cerrado en $B(X)$.