Estaba leyendo algunas de estas "paradojas matemáticas", y tratando de entender por qué la lista presenta sólo contrario a la intuición de los resultados matemáticos.
Hay espacio en matemáticas lógicas paradojas?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Estoy leyendo entre líneas un poco, pero parece ser confuso "paradoja" con "contradicción".
Una paradoja es una verdadera resultado que sorprende a nuestra sensibilidad humana. Estos son los tipos de cosas en la lista que usted proporcione. No hay nada de malo con las paradojas de este tipo. De hecho, con nuestra intuición giraba sobre su cabeza (en mi opinión) una de las grandes cosas acerca de las matemáticas.
Una contradicción surge en un sistema lógico que se pretenda dos opuestos afirmaciones son verdaderas (por ejemplo, un modelo de la aritmética en la que puede derivar tanto de $1 + 1 = 2$$1 + 1 \neq 2$). Las contradicciones lógicas no están permitidas en las matemáticas, ya que se puede derivar ninguna declaración (verdadero o falso) de una contradicción.
DanV
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281
Hay dos significados en los que uno puede interpretar la "paradoja" cuando se habla de matemáticas:
Contradicción, que es, naturalmente, derivado de los supuestos, por ejemplo, de la paradoja de Russell, o un Cantor de la paradoja. Estas son frases que muestran la inconsistencia de una definición. Por ejemplo Burali-Forti muestra que no hay ningún conjunto que contiene "todos los ordinales". Por lo tanto, cualquier sistema de definiciones en la que cada colección es un conjunto serán inconsistentes (concedido podemos definir un ordinal en este sistema, que es algo que esperamos ser capaces de hacer en un plazo razonable en la teoría de conjuntos).
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Contrario a la intuición de los resultados que muestran cómo extraño que las matemáticas pueden ser. El ejemplo más conocido es el de Banach-Tarski paradoja de que los estados que, asumiendo el axioma de elección (y, de hecho, una muy débil variante de éste), podemos demostrar la unidad de la bola en $\mathbb R^3$ puede ser dividido en cinco pedazos y se recompone como dos bolas cuyo volumen es el doble de la original.
Mucho menos conocida es la paradoja surge desde suponiendo que todos los conjuntos son Lebesgue medible (en ZF+DC). En el modelo como podemos partición de los números reales en más partes de conjuntos. Sí, podemos cortar un conjunto en un estrictamente mayor número de piezas que tenemos elementos para la partición. Suena extraño? Bien, esta es sólo una de las cosas que pueden salir mal cuando no asumiendo el axioma de elección!
jmans
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3018
En la lógica clásica lógicas paradojas no son permitidos, pero en paraconsistent lógica se los permiten.
Hay varios tipos de paradoja. Hay uno que podríamos llamar un fenomenológico de la paradoja, en donde la matemática resultados contradicen las verdades básicas acerca de lo que las matemáticas se supone modelo. Por ejemplo, El de Banach-Tarski paradoja puede ser considerado una paradoja. A continuación, hay lógicas paradojas, que es una afirmación que no se puede probar la vez verdadera y falsa.
En la lógica clásica (donde cada afirmación es verdadera o falsa, pero no ambas) puede ser fácilmente demostrado que una contradicción lógica que implica cada una de las otras declaración y, por tanto, si una contradicción lógica que existe en un sistema lógico entonces que el sistema es bastante inútil. Por lo tanto, paradojas debe ser desterrado. Fenomenológico paradojas son desterrados por el ajuste fino de los axiomas de modo que el resultado paradójico ya no sigue o aceptar el resultado como cierto y anunciar que nuestra intuición ha sido refinado. Lógicas paradojas se resuelven con cuidado el ajuste fino de los axiomas o de alguna manera no permitir el paradójico criaturas lejos de la discusión.
En paraconsistent lógica, en una declaración, sin que se produzca ninguna lógica males, ser a la vez verdadero y falso (ver http://plus.maths.org/content/not-carrot para una buena introducción) lógicas paradojas son muy diferentes y pueden, a veces, ser inofensivamente aceptado.
Hagen von Eitzen
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No, no la hay. Dentro del sonido de las matemáticas, uno no puede obtener inconsiatnt resultados. Entonces de nuevo, simplemente no podemos demostrar la consistencia de las matemáticas (y se ha demostrado que no podemos, al menos, no se si es cierto). Así, paradójicamente, sí, hay espacio en matemáticas lógicas paradojas, a pesar de que es sólo un pequeño, minúsculo rincón y nos sepa no hay ninguno, pero nosotros no puede demostrar que.
CallMeLaNN
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Se puede discutir sobre qué es exactamente lo que se entiende por el término "paradoja", pero si entiendo su significado, el llamado mentiroso paradojas puede ser visto como lógicas paradojas. El original de la paradoja del mentiroso, por ejemplo, se basa en una demanda por el poeta Cretense, Epimenides (alrededor del año 600 antes de cristo), que los Cretenses son "mentirosos". Algunos argumentarán, usando lo que creo que es demasiado estricta interpretación, que esto no es una "verdadera paradoja", ya que puede ser resuelto por el simple hecho de señalar que Epimenides la afirmación de sí mismo ha de haber sido una mentira, y que, por lo tanto, al menos uno de Creta debe haber dicho la verdad. (Una coherencia lógica escenario en el que se satisface este requisito sería que todos los Cretenses, pero Epimenides mismo siempre ha dicho la verdad!)
