El conmutador de dos elementos en un grupo se define como $[g, h] = g ^ h {−1} ^ {−1} gh. $ en un anillo, el conmutador de dos elementos es de $[a, b] = ab - ba. $
Pregunto porque un anillo es un grupo (abeliano) bajo adición, así que esperaba que fuera $[g, h] = -g-h + g + h. $
Aquí está una más abstracta y enfoque unificado para los conmutadores. Yo podría frase esta toda la respuesta en términos de la categoría de la teoría (y esta es probablemente la mejor manera de pensar en ella), pero no con el fin de hacer que la respuesta sea más accesible.
Deje de $G$ ser un grupo. Queremos hacer es conmutativa. ¿Qué significa eso? Queremos encontrar un conmutativa grupo de $A$ y un homomorphism $\pi : G \a$, que es el "mejor" elección de un homomorphism a un conmutativa grupo. Esto implica en particular que $\pi(gh)=\pi(hg)$ y por tanto $\pi(gei^{-1} h^{-1})=1$, es decir, los elementos de la forma $de gei^{-1} h^{-1}$ yacen en el núcleo de $\pi$. Así que la mejor opción debe ser: vamos a $G'$ (automáticamente normal) subgrupo de $G$ generados por estos elementos, y dejar que $A=G/G'$, y por supuesto $\pi$ es la proyección.
Ahora vamos a $R$ ser un anillo. Queremos hacer es conmutativa, es decir, queremos encontrar un anillo conmutativo $A$ con un "mejor" homomorphism $\pi : R \$. Esto supone, en particular, de $\pi(ab)=\pi(ba)$ y por tanto $\pi(ab-ba)=0$. Así que debemos definir a $A=R/I$, donde $I$ es el ideal generado por los elementos de la forma $ab-ba$.
En cada caso, la conmutatividad se logra mediante el establecimiento de ciertos elementos para el elemento de identidad para el grupo de operación, que por lo que son llamados conmutadores: miden la falta de conmutatividad.
Sin embargo, no estamos limitados a grupos o anillos. Una muy similar estructura algebraica es un monoid, que es un semigroup con la identidad. Ahora, dado un monoid $M$, con el fin de encontrar un conmutativa monoid $$ equipado con un "mejor" homomorphism $\pi : M \$, tenemos de nuevo $\pi(ab)=\pi(ba)$, pero ahora estamos estancados: no Podemos simplificar esto. Pero eso está bien, que sólo puede definir $\sim$ a ser el más pequeño de la congruencia relación en $M$ que satisface $ab \sim ba$. Es un poco feo para describir esto de forma explícita. Pero, siendo una relación de congruencia, podemos construir un monoid $M/{\sim}$, que es conmutativa por la construcción. Como se puede ver, aquí no tenemos "colector", pero la mejor conmutativa cociente todavía existe.
Básicamente el mismo "commutatizing" trabajos de construcción de todas las estructuras algebraicas que tienen una operación binaria en su tipo. Para grupos y anillos, estamos acostumbrados a identificar la congruencia de las relaciones normales con los subgrupos resp. ideales, y es por eso que $ab \sim ba$ se "simplificado" (¿de verdad?) $aba^{-1} b^{-1} \sim 1$ resp. $ab-ba \sim 0$.
El colector de un grupo y un colector de un anillo, aunque similares, son fundamentalmente diferentes, como usted dice. En cada caso, sin embargo, el colector de medidas de la "medida" en el que dos elementos no conmutan. Es decir, dada elementos $a,b$, deseamos "comparar" $ab$ y $ba$.
En el contexto de un grupo, sólo tenemos una sola operación: "multiplicación". Una manera de comparar dos valores de "" el uso de la multiplicación es la división; el "más cerca" que están a la identidad, más cerca de los dos valores. En particular, si $a$ y $b$ el viaje, tendríamos $$ \frac{ab}{ba} = 1 $$ Donde $1$ denota la identidad del grupo aquí. Por supuesto, esta "división" de la notación es un poco ambiguo en el contexto de los grupos, ya que la multiplicación no es conmutativa aquí. Lo que nos llevan a ser el colector, entonces, es $$ [a,b] = (ab)^{-1}(ab) = a^{-1}b^{-1}ab $$ Con los anillos, sería fantástico si pudiéramos volver a usar la misma definición. Sin embargo, el problema es que en un anillo, se no se puede dividir. Los anillos no es necesario ser grupos en virtud de la multiplicación, que sólo necesitan ser monoids (o semigroups, dependiendo de la definición).
Todavía, sin embargo, someterse a una operación que nos permite "comparar" $ab$ y $ba$, es decir, resta. En particular, cuando $a$ y $b$ el viaje, tenemos $ab - ba = 0$. Así, debido a que es la única manera de "medir" el grado en que $a$ y $b$ el viaje, definimos $$ [a,b] = ab - ba $$ en los anillos. Lo que ocurre es que si el anillo pasa a permitir la división (es decir, si usted tiene un anillo de división), entonces podría ser que usted podría usar a ambos conmutadores. Sin embargo, el grupo conmutador funciona para cada grupo, y el anillo colector funciona para cada anillo. Esta es la razón por la que nos definen la manera en que lo hacemos.
Otra perspectiva sobre este viene de la consideración de la relación entre una Mentira grupo y su correspondiente Mentira álgebra. Los detalles están en la relación entre los conmutadores de una Mentira grupo y su Mentira de álgebra, pero el resultado es que el anillo colector $[a,B]=AB-BA$ puede ser considerado como un infinitesimal versión del grupo conmutador $[\alpha,\beta]=\alpha^{-1}\beta^{-1}\alpha\beta$.
Se puede relacionar el colector para una Mentira grupo $G$ a el (tipo anillo) conmutador de su Mentira álgebra $\mathfrak{g}$.
Decir $g$ mentiras infinitesimalmente cerca de la identidad de grupo, $g = \exp(\epsilon\,X)$ $X \in \mathfrak{g}$. También decir $h = \exp(\epsilon\,Y)$ $Y \en \mathfrak{g}$. Entonces, $gei^{-1}h^{-1}$ también se encuentra infinitesimalmente cerca de la identidad de $G$. Se calcula utilizando el Panadero-Campbell-Hausdorff fórmula que su generador es $$ \log de gei^{-1}h^{-1} = \epsilon^{2}[XY] + \mathrm{O}(\epsilon^3)\,. $$ Si desea hacer contacto con el anillo colector, creo que de la Mentira de soporte "de" el colector con respecto a la asociativa del producto en $\mathrm{U}\mathfrak{g}$, el universal envolvente álgebra de $\mathfrak{g}$, por lo que $$ [XY] = XY - YX $$ de una manera genuina.
En ambos casos, conmutadores medir hasta qué punto es el objeto de ser conmutativa.
Un grupo es conmutativo cuando su operación es conmutativa.
Un anillo es conmutativo cuando la multiplicación es conmutativa. (Además en un anillo siempre es conmutativa).
Por lo tanto, la definición de conmutador en cada caso refleja lo que es viajar, como debería.
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