He aquí otro enfoque para resolver la relación de recurrencia \begin{align*} x_0&=3\\ x_1&=4\tag{1}\\ x_{n+1}&=x_{n-1}^2-nx_n\qquad\qquad n\geq 2 \end{align*} Pero primero unas palabras a su clasificación de esta relación de recurrencia. Tienes razón cuando dices que no es ni una lineal ni un relación de recurrencia homogénea no lineal con coeficiente constante . Se podría argumentar:
Tipo de relación de recurrencia:
- Desde el el término constante es 0 es un homogéneo relación de recurrencia
- Desde $x_{n-1}$ ocurre al cuadrado es un no lineal relación de recurrencia
- Dado que el coeficiente de $x_{n}$ es $n$ es una relación de recurrencia con no constante coeficientes
- Desde $x_{n+1}$ se especifica con la ayuda de $x_n$ y $x_{n-1}$ hay dos grados de libertad y por lo tanto es una relación de recurrencia de pedido 2 . Por lo tanto, necesitamos dos valores iniciales para especificar completamente la relación de recurrencia.
Por lo tanto, podemos especificar:
La relación de recurrencia (1) es una relación de recurrencia cuadrática y homogénea de orden 2 con coeficientes no constantes .
Ahora un enfoque alternativo en tres pasos.
1.) Ansatz: $x_n$ es un polinomio $P$ en $n$
Dado que los valores iniciales son constantes y $x_{n+1}$ se define como cuadrado de un término anterior y $n$ veces otro término anterior podríamos comprobar si $x_n$ es un polinomio en $n$ .
Atención: Como @ChristianBlatter señaló con un contraejemplo en un comentario más abajo, es no siempre el caso de que $x_n$ es un polinomio. Depende de la estructura de la relación de recurrencia.
2.) El grado deg P
Por lo tanto, consideremos $x_n$ para ser un polinomio $P(n)$ y tratar de determinar el grado $d=\text{deg}P(n)$ del polinomio $x_n$ = $P(n)$ . Para ello, reescribimos la relación de recurrencia $(1)$ convenientemente como \begin{align*} x_{n+1}+nx_n&=x_{n-1}^2\\ \text{or}\tag{2}\\ P(n+1)+nP(n)&=P^2(n-1) \end{align*} Observamos \begin{array}{rl} \text{LHS has degree}&d+1\\ \text{RHS has degree}&2d \end{array} Desde $d+1=2d$ obtenemos $\text{deg}P=1$ y así podemos elegir el
3.) Ansatz: $x_n=P(n)$ con $\text{deg}P(n)=1$
\begin{align*} x_n=an+b\qquad\qquad a,b\in\mathcal{R} \end{align*} Con la ayuda de las condiciones iniciales $x_0=3$ y $x_1=4$ encontramos \begin{align*} x_0&=a\cdot0+b=3\\ x_1&=a\cdot1+b=4 \end{align*} con la solución $a=1$ y $b=3$ .
Así, una forma cerrada de la relación de recurrencia $(1)$ es
\begin{align*} x_n=n+3\qquad\qquad n\geq 0 \end{align*}
