Medida de reales en $[0,1]$ que no tiene $4$ en decimal de expansión

Question

Es un ejercicio de E. M. Stein "Análisis Real."

Deje $A$ ser el subconjunto de $[0,1]$ que consiste de todos los números que no tienen el dígito $4$ que aparecen en su expansión decimal. ¿Cuál es la medida de $A$?

Estaría agradecido si alguien me puede dar algunas pistas.

Gracias.

Answer 1

Usted puede construir el conjunto $A$ como límite de secuencia anidada, por lo que demostrar capacidad de medición de $A$ y encontrar su medida al mismo tiempo. Con $n$-ésimo dígito de un número nos referimos a la $n$-ésimo dígito después del delimitador en la expansión decimal del número, por ejemplo, $2$ $4$- ésimo dígito de $0.434256$

La respuesta es $\mu(A) =0$. El sector informal de la prueba es simple: cada vez que restringir el $n$-ésimo dígito, truncar la medida multiplicando con $9/10$. Por eso, $\mu(A) = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{9^n}{10^n} = 0$.

---

Acerca de la prueba formal: elaboramos la idea de Chandrasekhar. Vamos que nos vamos a denotar $A_n = \{x\in [0,1]:\text{ first n digits of }x\neq 4\}$. Claramente, $$ A_{n+1}\subseteq A_n, \quad A = \lim\limits_{n\to\infty}A_n = \bigcap\limits_{n=1}^\infty A_n,\quad \mu(A) = \lim\limits_{n\to\infty}\mu(A_n). $$ E. g. $A_1 = [0,0.4)\cup [0.5,1]$ $\mu(A_1) = 0.9$ . Para calcular el $A_2$ primer aviso de que es un subconjunto de a $A_1$ tal que $2$-th dígitos de cualquier número en $A_2$ es cualquier dígito sino $4$.

Eso da una idea de que cada vez es suficiente para considerar el primer paso de truncamiento. Deje que nos indican $$ K(B) = \{x\in B:\text{ primer dígito }x\neq 4\} $$ y $10^kB = \{10^kx:x\in B\}$. Claramente, tenemos $A_1 = K([0,1])$$A_{n+1} = 10^{-n}K(10^nA_n)$.

Tenga en cuenta que cada vez que $10^n A_n$ es una unión de intervalos con el entero de los límites, por lo que $$ \mu(K(10^nA_n)) = 10^{n}\frac9{10}\mu(A_n) = 9\cdot 10^{n-1}\mu(A_n) $$ así $$ \mu(A_{n+1}) = \frac{9}{10}\mu(A_n) $$ y llegamos a la línea de meta: $$ \mu(A) = \lim\limits_{n\to\infty}\mu(A_n) = 0. $$

Observe que la igualdad de $\mu(10^k B) = 10^k \mu(B)$ sólo necesitamos para el finito uniones de intervalos, de modo que usted puede probar fácilmente.

Answer 2

Una forma rápida de ver la solución es considerar una al azar (uniformemente distribuida) número de $[0,1]$. Por el infinito de monos principio, la expansión decimal de un número aleatorio debe contener una $4$ casi seguramente. Pero la probabilidad de medida de la distribución uniforme es sólo la medida de Lebesgue en $[0,1]$, por lo tanto, estamos excluyendo a un conjunto de medida $1$. Por lo tanto,$A$, que consta de los números que están a la izquierda, debe tener medida $0$.

Haciendo de este riguroso probablemente implica hacer algo como Chandrasekhar del comentario.

Answer 3

Deje $B = A \setminus \{1\}$.

El primer dígito de cualquier elemento $x$ $B$ no 4. La parte fraccionaria de $10x$$B$. Así tenemos un discontinuo de la unión

$$B = \bigcup_{i \in \{0,1,2,3,5,6,7,8,9\}} \left( \frac{i}{10} + \frac{1}{10} B \right) $$

por lo $\mu(B) = 9 \cdot \frac{1}{10} \mu(B)$. La solución de da $\mu(B) = 0$ o $\mu(B) = +\infty$, y el último es claramente imposible.

Answer 4

Aquí hay otra solución, la cual está relacionada a Henning. Esta solución utiliza los métodos de la aleatoriedad algorítmica.

Cualquier Martin-Löf al azar (de hecho, cualquier Kurtz al azar) debe tener al menos uno (de hecho, infinitamente muchos) 4 en su expansión decimal. Para ver esto, vamos a $r$ ser un número real no 4 en su expansión decimal. El computables estrategia de apuestas (es decir, de martingala) que se propaga a toda la actual capital de manera uniforme sobre todas las cifras, excepto 4 luego de tener éxito (con una computable tasa de éxito) en $r$. En otras palabras, después de haber visto algunas segmento inicial de la expansión decimal de $r$, esta estrategia de apuestas que luego, a la siguiente bits no es un 4. Desde la casa (es decir, la medida de Lebesgue) da uniforme de probabilidades para cada dígito, estamos garantiza un retorno de la inversión factor de $10/9$. Desde $(10/9)^{n} \to \infty$ (computably), vamos a ganar de manera arbitraria mucho.

Así su conjunto $A$ está contenida en el complemento de la colección de Martin-Löf (o Kurtz) randoms. Ya que la colección de Martin-Löf (o Kurtz) randoms tiene una medida de 1, en su conjunto $A$ debe tener medida de 0.