Si $f(2x)=2f(x), \,f'(0)=0$ $f(x)=0$

Question

Recientemente, cuando yo estaba trabajando en un funcional de la ecuación, me he encontrado con algo como una ecuación diferencial ordinaria con las condiciones de contorno!

Teorema. Si el siguiente se aplica a todos los $x \in \mathbb R$ $$\begin{align} f(2x) &=2 f(x) \\ f'(0) &=0 \end{align}$$ mostrar que $f(x)=0$$\mathbb R$.

Intuitivamente, es evidente para mí que $f(x)=0$ pero no puedo mostrar esto por un argumento formal. De hecho, no tengo ninguna idea de trabajar en ella! :)

Voy a estar agradecido si me dan una sugerencia o ayuda para mostrar esto con una buena prueba formal.

Answer 1

Establecimiento $x=0$ en $f(2x)=2f(x)$, $f(0)=0$. Ahora fix $x\neq 0$ y considerar los valores de $f(x/2^n)$. Por inducción, $f(x/2^n)=f(x)/2^n$ todos los $n\in\mathbb{N}$. Pero por la definición de la derivada, $$\frac{f(x/2^n)-f(0)}{x/2^n-0}=\frac{f(x)/2^n}{x/2^n}=\frac{f(x)}{x}$$ must converge to $f'(0)=0$ as $n\to\infty$. It follows that $f(x)=0$.