Resolver la ecuación de $27 \sin(x) \cdot \cos^2(x) \cdot \tan^3(x) \cdot \cot^4(x) \cdot \sec^5(x) \cdot \csc^6(x) = 256$.
Tenía la esperanza de que algunas cosas se podrían cancelar cuando me ampliado de esto, pero nada. Creo que el uso de las desigualdades en materia de ayuda.
Otros que el aspecto cosmético de la elección de los exponentes en una progresión aritmética, se trata del hecho de que hay un bonito y limpio fórmula para el valor máximo de $|\sin^a (x) \cos^b (x)|$, debido a que la función se maximiza cuando se $\sin^2 (x) = \frac{a}{a+b}$ ( $a,b > 0$ ). Entonces el problema es establecer pidiendo la $x$ donde la función es igual a un valor que sólo pasa a ser igual a la hermosa fórmula para el máximo.
La ubicación de la maxima puede ser demostrado por cálculo o (como se indicó en la pregunta) con la Media Aritmética-Media Geométrica de la desigualdad aplicado a $a(\frac{\sin^2}{a}) + b(\frac{\cos^2}{b}) = 1$.
La relación de 3:1 de $a$ $b$ visto en este conjunto de exponentes es la única que no sea trivial caso de que $x$ es un racional múltiples de $\pi$.
De hecho, hay toda una ingeniosa solución a esta pregunta. Tenemos $\sin^6(x)\cos^2(x) = \dfrac{27}{256}$. Ahora podemos escribir esto como $3^3\dfrac{\sin^2(x)}{3}\dfrac{\sin^2(x)}{3}\dfrac{\sin^2(x)}{3}\cos^2(x) = \dfrac{27}{256}$. Entonces por AM-GM $\sqrt[4]{\dfrac{\sin^2(x)}{3}\dfrac{\sin^2(x)}{3}\dfrac{\sin^2(x)}{3}\cos^2(x)} \leq \dfrac{1}{4} $. Por lo tanto, $3^3\dfrac{\sin^2(x)}{3}\dfrac{\sin^2(x)}{3}\dfrac{\sin^2(x)}{3}\cos^2(x) \leq \dfrac{27}{256}$. Por lo tanto, la igualdad tiene iff $3\sin^2(x) = \cos^2(x) \implies 3-4\cos^2(x) = 0 \implies \cos^2(x) = \dfrac{3}{4}$ y la solución de las ganancias.
Así que después de la reducción de la ecuación la ecuación se verá así: $$27\csc^6(x)\sec^2(x)=256$$ O: $$\sin^6(x)\cos^2(x)=\frac{27}{256}$$ Entonces: $$\sin^6(x)-\sin^8(x)=\frac{27}{256}$$ O: $$\sin^8(x)-\sin^6(x)+\frac{27}{256}=0$$ Me encontré con que $\sin^2(x)-\frac{3}{4}=0$ es divisible ecuación anterior.Yo no utiliza las características de alto grado de los polinomios. De manera que la ecuación se verá de esta manera: $$(\sin^2(x)-\frac{3}{4})(\sin^6(x)+\frac{1}{4}\sin^4(x)+\frac{3}{4}\sin^2(x)+\frac{27}{64})=0$$ Y: $$\sin^2(x)-\frac{3}{4}=0$$ El resto es para usted.
La expansión de todo, tenemos $$ \frac{256}{27} = \frac{\sin^{1+3}{x}\cos^{2+4}{x}}{\sin^{4+6}{x}\cos^{3+5}{x}},$$ y luego cancelar da $$ \frac{2^8}{3^3} = \frac{1}{\sin^6{x}\cos^2{x}} $$ Tomando una raíz cuadrada y la división, $$ \sin^3{x} \cos{x}=\pm \frac{\sqrt{3}^3}{2^4} $$ Hay una obvia solución a este: $x=\pm\pi/3$. Es fácil comprobar que el lado izquierdo tiene período de $\pi$, lo $x=k\pi\pm\pi/3$ son soluciones. ¿Hay alguna más? De hecho, la respuesta es no: usted puede demostrar que el mundial de máximos y mínimos de $\sin^3{x}\cos{x}$ son precisamente estos puntos mediante la diferenciación, y por lo tanto, algunos simples argumentos acerca de cómo el gráfico debe mirar, no hay más.
desde \begin{align*}27\sin{x}\cos^2{x}\tan^3{x}\cot^4{x}\sec^5{x}\csc^6{x}&=27\sin{x}\cos^2{x}\cdot\dfrac{\sin^3{x}}{\cos^3{x}}\cdot\dfrac{\cos^4{x}}{\sin^4{x}}\cdot\dfrac{1}{\cos^5{x}}\cdot\dfrac{1}{\sin^6{x}}\\ &=\dfrac{27}{\cos^2{x}\sin^6{x}} \end{align*} así $$\sin^6{x}\cos^2{x}=\dfrac{27}{256}$$ pero, por otro lado , tenemos $$t(1-t)^3=\dfrac{27}{256}$$ desde $$ 256t(1-t)^3-27=-(4t-1)^2(16t^2-40t+27)$$ debido a $$16t^2-40t+27=(4t-5)^2+2>0$$ $$t=\dfrac{1}{4}$$ entonces $$\cos{x}=\dfrac{1}{2}\rm{or}-\dfrac{1}{2}$$ donde $t=\sin^2{x}\ge 0$ a continuación, puedes hacerlo
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