Estoy teniendo dificultades para configurar la prueba de que el hecho de que dos bases de un espacio vectorial tienen la misma cardinalidad de infinito-dimensional caso. En particular, vamos a $V$ ser un espacio vectorial sobre un campo $K$ y deje $\left\{v_i\right\}_{i \in I}$ ser una base donde $I$ es infinito contable. Deje $\left\{u_j\right\}_{j \in J}$ ser otra base. A continuación, $J$ debe ser infinito contable así. Cualquier idea sobre cómo abordar la prueba?
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En espíritu, la prueba es muy similar a la prueba de que dos finito bases deben tener la misma cardinalidad: exprese cada vector en una base en términos de los vectores de la base, y aprovechar eso para mostrar la cardinalidades debe ser igual, usando el hecho de que el "otro" debe abarcar y ser lineraly independiente.
Supongamos que $\{v_i\}_{i\in I}$ $\{u_j\}_{j\in J}$ son dos infinito bases para $V$.
Para cada $i\in I$, $v_i$ es en el lineal lapso de $\{u_j\}_{j\in J}$. Por lo tanto, existe una finito subconjunto $J_i\subseteq J$ tal que $v_i$ es una combinación lineal de los vectores $\{u_j\}_{j\in J_i}$ (como una combinación lineal implica sólo un número finito de vectores con coeficiente distinto de cero).
Por lo tanto, $V=\mathrm{span}(\{v_i\}_{i\in I}) \subseteq \mathrm{span}\{u_j\}_{j\in \cup J_i}$. Ya que ningún subconjunto de $\{u_j\}_{j\in J}$ puede abarcar $V$, se deduce que el $J = \mathop{\cup}\limits_{i\in I}J_i$.
Ahora use esto para mostrar que $|J|\leq |I|$, y una simétrica argumento para demostrar que $|I|\leq |J|$.
Nota. El argumento que tengo en mente en la última línea implica algunos (simple) el cardenal de la aritmética, sino que es suficiente con que al menos alguna forma de que el Axioma de Elección puede ser necesaria en toda su generalidad.
DiGi
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Una vez que usted tiene los hechos acerca de los conjuntos infinitos, el argumento es muy similar a la utilizada en el finito-dimensional caso. Las dos piezas clave de información son: (1) que si $I$ es un conjunto infinito de cardinalidad $\kappa$, dicen, a continuación, $I$ $\kappa$ subconjuntos finitos, y (2) que si $|J|>\kappa$, e $J$ se expresa como la unión de $\kappa$ subconjuntos, entonces al menos uno de esos subconjuntos tiene que ser infinita.
Deje $B_1 = \{v_i:i\in I \}$$B_2 = \{u_j:j \in J \}$, y supongamos que $|J|>|I| = \kappa$. Cada una de las $u_j \in B_2$ se puede escribir como una combinación lineal de algunos subconjunto finito de $B_1$, decir $u_j = \sum\limits_{i \in F_j}k_{ji}v_i$ donde $F_j$ es un subconjunto finito de $I$. Para cada finito $F \subseteq I$ deje $J_F = \{j \in J:F_j = F\}$; claramente $J$ es la unión de estos conjuntos de $J_F$. Pero por (1) $I$ sólo ha $\kappa$ subconjuntos finitos, y $|J|>\kappa$, entonces por (2) anterior, debe haber alguna finito $F \subseteq I$ tal que $J_F$ es infinito.
Para simplificar la notación, vamos a $F = \{i_1,i_2,\dots,i_n\}$, y para $\mathcal{l}=1,2,\dots,n$ deje$v_\mathcal{l} = v_{i_\mathcal{l}}$; a continuación, todos los vectores $u_j$ $j \in J_F$ es una combinación lineal de los vectores $v_1,v_2,\dots,v_n$. En otras palabras, $\{u_j:j \in J_F\} \subseteq \operatorname{span}\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$, y, por supuesto,$\{u_j:j \in J_F\}$, siendo un subconjunto de la base $B_2$, es linealmente independiente. Pero $\operatorname{span}\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$ es de dimensión$n$$K$, por lo que cualquier conjunto de más de $n$ vectores en $\operatorname{span}\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$ debe ser linealmente dependiente, y tenemos una contradicción. De ello se deduce que debemos tener $|J| \le |I|$. Por simetría (o por el mismo argumento con el rôles de $I$ $J$ intercambiados), $|I| \le |J|$, y, por tanto,$|I|=|J|$.
