En Álgebra Abstracta, aprendí sobre la "conjugación" en el contexto de un grupo $H$ siendo un subgrupo "normal" de $G$ si el elemento $xhx^{-1}\in H$ para cualquier $x\in G$ . Pero no es la primera vez que veo la palabra 'conjugar'. Las otras veces que lo he visto es en pre-cálculo, al tratar de racionalizar un denominador, o en el caso de que $(x+y)$ es el conjugado de $(x-y)$ . ¿Tiene la versión de teoría de grupos de la conjugación algún vínculo con la versión de precálculo (y otros usos)?
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mkoeller
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C. La respuesta de Falcon se refiere a la teoría de Galois, que es casi con toda seguridad la respuesta históricamente correcta. Pero la conexión entre ambas ideas puede explicarse en términos algo más elementales:
Si $G$ es un grupo que actúa sobre un conjunto $S$ y $s,t\in S$ se encuentran en la misma órbita, entonces los estabilizadores de $s$ y $t$ son subgrupos conjugados de $G$ . En concreto, si $t = hs$ entonces $gs = s \iff (hgh^{-1})t = t$ .
Dado que con frecuencia estudiamos los elementos de los grupos en términos de sus puntos fijos, tiene sentido que la terminología de la conjugación en un grupo se confunda a veces con la de las órbitas.
Por ejemplo, podemos comprobar que $a+b\sqrt{2} \mapsto a-b\sqrt{2}$ define una acción del grupo cíclico de orden $2$ en el campo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ . Entonces $a+b\sqrt{2}$ es conjugar a $a-b\sqrt{2}$ en el sentido de que se encuentran en la misma órbita bajo esta acción.
De forma más general, la teoría de Galois nos dice que si $p(X)$ es cualquier polinomio irreducible sobre un campo $k$ y $k\subset K$ es un campo de división, entonces hay un grupo que actúa sobre $K$ que arregla $k$ y actúa transitoriamente sobre las raíces de $p$ . En otras palabras, las raíces de $p$ son conjugar .
Se trata de un abuso terminológico, pero puede explicar el vínculo conceptual entre los dos usos diferentes de la palabra.
ghostwhistler
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32
Podría decirse que la forma más fácil e intuitiva de entender la conjugación es a través del álgebra lineal.
$T : V \to V$ sea una transformación lineal del espacio vectorial $V$ . Entonces, dada una base $\Bbb B = \{e_1, \cdots, e_n\}$ para $V$ se puede representar $T$ por una matriz $[T]_{\Bbb B} = [T(e_1), \cdots, T(e_n)]$ con cada $T(e_i)$ expresado en términos de $\Bbb B$ . Es decir, las columnas de la matriz son las imágenes de cada elemento de la base $\Bbb B$ bajo la transformación.
Si $\Bbb B = \{v_1, \cdots, v_n\}$ y $\Bbb B' = \{w_1, \cdots, w_n\}$ son dos bases de $V$ entonces podemos intentar ver qué pasa si empezamos con la base $\Bbb B$ y luego pasar a la base $\Bbb B'$ expresando $v_i$ como combinación lineal $\sum_k a_{ki} w_i$ de elementos de $\Bbb B$ . Del mismo modo, podemos intentar expresar los elementos $w_i$ de $\Bbb B'$ como combinaciones lineales $\sum_k a_{ki}' v_i$ de elementos de $\Bbb B$ .
La matriz $P = [a_{ki}]$ se llama la matriz de cambio de base que se obtiene al cambiar la base de $\Bbb B$ a $\Bbb B'$ . Se puede comprobar fácilmente que $[a'_{ki}]$ es simplemente $P^{-1}$ .
El hecho relevante es $[T]_{\Bbb B'} = P^{-1} [T]_{\Bbb B} P$ . Así, la conjugación de matrices corresponde al cambio de base y las clases de conjugación de matrices en $GL(V)$ corresponden a operadores lineales sin base.
Esta descripción de la conjugación puede verse incluso en grupos generales. $G$ sea un grupo arbitrario que actúa sobre un conjunto $X$ por
$$G \times X \to X \\ (g, x) \mapsto gx$$
Si $g$ actúa sobre elementos en $X$ por multiplicación, $hgh^{-1}$ hace el mismo trabajo $g$ lo hace, pero en $hx$ en lugar de $x$ y luego vuelve a poner todo en su sitio. Uno puede ver esto fácilmente dejando que $\text{Isom}(\Bbb R^3)$ actuar $\Bbb R^3$ por isometrías, digamos, y dejando que $g$ y $h$ para ser elementos del grupo de isometría (por ejemplo, rotación/traslación).
Así, $hgh^{-1}$ no es realmente muy diferente de $g$ pero sólo hace el trabajo de $g$ en $hx$ en lugar de $x$ . Esto es más general en el sentido de que dejar $G = GL(V)$ y $G$ actúan sobre el espacio vectorial $X = V$ me devuelve el cuadro de álgebra lineal.
Para responder a la pregunta principal, en mi opinión, los conjugados de Galois no están realmente relacionados con los conjugados como en los grupos (lo que ya ha sido señalado por varias respuestas aquí). La verdadera motivación para la conjugación proviene de la teoría de Galois de una manera diferente.
En concreto, si $\text{Gal}(L/K)$ es el grupo de $K$ -automorfismos de $L$ entonces, dada una extensión intermedia $L/E/K$ (la terminología se explica en la respuesta de C. Falcon), $\text{Gal}(L/E)$ es naturalmente un subgrupo de $\text{Gal}(L/K)$ , como $E$ -automorfismos de $L$ son automáticamente $K$ -automorfismos de $L$ (fijar puntualmente algo más grande fija automáticamente el subconjunto).
Ahora bien, si $L/E/K$ es una torre de Galois extensiones, entonces $\text{Gal}(L/E)$ es normal en $\text{Gal}(L/K)$ . Aquí es donde entra en juego la noción de conjugación, porque Galois quería definir la estructura de grupo en la colección de todos los cosets.
Si $G$ es un grupo, $N \leq G$ es un subgrupo, es fácil ver dónde entra la conjugación al tratar de definir la estructura de grupo en $G/N$ . Si $g_1N, g_2N$ son dos elementos en $G/N$ entonces la forma más obvia de tratar de definir la estructura del grupo es como $(g_1 N)\cdot(g_2 N) = (g_1g_2)N$ . Esto se puede hacer bien definido si y sólo si $gNg^{-1} = N$ (una dirección es fácil, para la otra dirección si $gN = g'N$ , elige $h \in N$ . $hN = eN$ implica $(hN) \cdot (gN) = gN$ que es -como afirmamos- lo mismo que $(hN) \cdot (gN) = (hg)N$ . Por lo tanto, $(g^{-1}hg)N = N$ y $N$ es normal, como se desea)
Es interesante como observación que Galois dedujo que el cociente $\text{Gal}(L/K)/\text{Gal}(L/E)$ es de hecho isomorfo a $\text{Gal}(K/E)$ aunque eso es irrelevante aquí.
kerchee
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66
La noción de conjugación fue desarrollada por primera vez por Cauchy para los grupos de permutación. Para los grupos de permutación es extremadamente sencillo de entender, y de hecho como todos los grupos son isomorfos a algún grupo de permutación, se puede tomar esto como una comprensión general.
Digamos que tengo $10$ diferentes objetos que estoy intercambiando. Puedo considerar dos permutaciones: una en la que intercambio los dos primeros, y otra en la que intercambio los dos últimos. Pero estas permutaciones son realmente la misma cosa, ¿no? Son la misma permutación, sólo que realizada sobre objetos diferentes: realizo la misma "acción" en ambos casos, si entiendes lo que quiero decir. Para un caso más complejo, imagina que tomo los cinco primeros objetos y roto sus posiciones, y luego intercambio el primero y el quinto. Esto es "lo mismo" que si tomo los último cinco objetos y realizar la misma acción sobre ellos (el mero hecho de que seas capaz de entender lo que quiero decir con "realizar la misma acción sobre ellos" sin que tenga que explicarlo con detalle es una prueba de ello).
Dos permutaciones son conjugar si son "la misma permutación hecha a diferentes objetos" en este sentido. ¿Cómo podemos precisar esto? Elaboremos un ejemplo: las permutaciones $P = (1\ 2)$ y $Q = (3\ 4)$ sobre, por ejemplo, el conjunto de números entre $1$ y $10$ . El segundo es sólo $P$ pero hecho a $3$ y $4$ en lugar de $1$ y $2$ . Así pues, consideremos la permutación $S$ que envía $4$ a $2$ y $3$ a $1$ . Tenemos: $$P=S^{-1}QS$$ En primer lugar, aplicamos $S$ - esto es básicamente "renombrar" los elementos de nuestro conjunto. A continuación, aplicamos $P$ y luego deshacemos $S$ para volver a nuestro "esquema de nomenclatura" original. Es cierto que es un poco difícil explicar esto por escrito, pero espero que con un poco de reflexión seas capaz de ver que la existencia de un $S$ tal que $P=S^{-1}QS$ realmente capta la idea de que $P$ y $Q$ son "la misma cosa hecha a diferentes objetos".
Por cierto, para los grupos de permutaciones finitas, cada permutación puede escribirse como un producto de ciclos disjuntos, y la conjugación es equivalente a tener la misma "estructura" en la descomposición de los ciclos. Definir exactamente lo que quiero decir con "estructura" es una de esas cosas que son difíciles de explicar con palabras pero fáciles de ver con un ejemplo. Las permutaciones $(3\ 4)(5\ 6\ 8)$ y $(2\ 3)(1\ 4\ 9)$ son claramente "las mismas", pero realizadas a objetos diferentes. El hecho de que ambos sean el producto de un ciclo de 2 y un ciclo de 3 disjuntos basta para demostrar que son conjugados.
C. Falcon
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2643
Según el libro de A. Jeanneret y D. Lines Invitación al álgebra la conjugación de grupos surge de la teoría de Galois. Permítanme presentarles los conceptos básicos.
Definición. Dejemos que $K$ ser un campo. Si $L$ es un campo y $\varphi:K\hookrightarrow L$ es un homomorfismo de anillo $(L,\varphi)$ se dice que es una extensión de campo de $K$ y uno escribe $L/K$ .
Observación. Un homomorfismo de anillo $\varphi$ de un campo $K$ a un campo $L$ es siempre inyectiva. En efecto, dejemos que $x\in K$ tal que $\varphi(x)=0_L$ y asumir por contradicción $x\neq 0_K$ , $x\in K^\times$ . Como un homomorfismo de anillo es unitario, se tiene: $$1_L=\varphi(xx^{-1})=\varphi(x)\varphi(x)^{-1}=0_L,$$ una contradicción, ya que un campo no es el anillo nulo. Por lo tanto, $x=0_K$ y $\varphi$ es inyectiva.
Ejemplo. $\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ es una extensión de campo para la inclusión natural.
Definición. Dejemos que $L/K$ sea una extensión de campo, $M$ se dice que es un campo intermedio si y sólo si $L/M$ y $M/K$ son extensiones de campo.
Ejemplo. $\mathbb{R}$ es un campo intermedio de $\mathbb{C}/\mathbb{Q}$ .
Propuesta-Definición. Dejemos que $L/K$ sea una extensión de campo y $M$ un campo intermedio. Si $\sigma\in\textrm{Aut}(L)$ (isomorfismos de anillos de $L$ a $L$ ), $\sigma(M)$ es un campo intermedio llamado conjugado de $M$ .
Observación. La conjugación compleja es un automorfismo de anillo de $\mathbb{C}$ . La conjugación de campos definida anteriormente es, pues, una generalización de la conjugación compleja.
Propuesta-Definición. Dejemos que $L/K$ sea una extensión de campo, $\textrm{Gal}(L/K):=\textrm{Aut}_{K}(L)$ (isomorfismos de anillos de $L$ a $L$ cuyas restricciones a $K$ es la identidad) es un grupo para la composición llamado grupo de Galois de la extensión $L/K$ .
Prueba. Demostremos que $\textrm{Gal}(L/K)$ es un subgrupo de $\textrm{Aut}(L)$ .
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$\textrm{id}_L\in\textrm{Gal}(L/K)$ .
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Dejemos que $\sigma,\tau\in\textrm{Gal}(L/K),\sigma\circ\tau\in\textrm{Aut}(L)$ . Sea $x\in K$ uno tiene: $$\sigma\circ\tau(x)=\sigma(x)=x.$$ Por lo tanto, $\sigma\circ\tau\in\textrm{Gal}(L/K)$ .
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Dejemos que $\sigma\in\textrm{Gal}(L/K)$ , $\sigma^{-1}\in\textrm{Aut}(L)$ . Sea $x\in K$ uno tiene: $\sigma(x)=x$ De ahí que se obtenga: $$x=\sigma^{-1}(x).$$ $\sigma^{-1}\in\textrm{Gal}(L/K)$ .
De ahí el resultado. $\Box$
El vínculo con la conjugación del grupo está contenido en el:
Propuesta. Dejemos que $L/K$ sea una extensión de campo, $M$ sea un campo intermedio y $\tau\in\textrm{Gal}(L/K)$ uno tiene: $$\textrm{Gal}(L/\tau(M))=\tau\textrm{Gal}(L/M)\tau^{-1}.$$
Prueba.
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Dejemos que $\sigma\in\textrm{Gal}(L/K)$ y que $y\in\tau(M)$ existe $x\in M$ tal que $y=\tau(x)$ uno tiene: $$\tau\circ\sigma\circ\tau^{-1}(y)=\tau\circ\sigma(x)=\tau(x)=y.$$ Por lo tanto, $\tau\circ\sigma\circ\tau^{-1}\in\textrm{Gal}(L/\tau(M))$ y uno lo ha hecho: $$\tau\textrm{Gal}(L/K)\tau^{-1}\subseteq\textrm{Gal}(L/\tau(M)).$$
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Dejemos que $\rho\in\textrm{Gal}(L/\tau(M))$ y dejemos que se defina $\sigma:=\tau^{-1}\circ\rho\circ\tau$ . Sea $x\in K$ uno tiene: $$\sigma(x)=\tau^{-1}\circ\rho\circ\tau(x)=\tau^{-1}\circ\tau(x)=x.$$ Por lo tanto, $\sigma\in\textrm{Gal}(L/M)$ y como $\rho=\tau\circ\sigma\circ\tau^{-1}$ , $\rho\in\tau\textrm{Gal}(L/M)\tau^{-1}$ . Por lo tanto: $$\textrm{Gal}(L/\tau(M))\subseteq\tau\textrm{Gal}(L/K)\tau^{-1}.$$
De ahí el resultado. $\Box$
Observación. En otras palabras, esta proposición afirma que el grupo de Galois se asocia con un campo conjugado de $M$ es un grupo conjugado del grupo de Galois asociado a $M$ .
Morgan Rodgers
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3629
La conjugación suele estar relacionada con los mapeos en la estructura algebraica llamada automorfismos . Son mapas biyectivos que preservan el funcionamiento de la estructura.
En $\mathbb{C}$ hay dos operaciones, la suma y la multiplicación. Un automorfismo de $\mathbb{C}$ es entonces una biyección desde $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ que conserva ambas opciones. Dado que $\mathrm{i}$ y $-\mathrm{i}$ son ambas soluciones de $x^{2} +1 = 0$ se puede demostrar que el mapa $a+b\rm{i} \mapsto a-b\rm{i}$ proporciona un automorfismo de $\mathbb{C}$ . Así que si tienes $z$ y $\bar{z}$ equivalentes bajo este mapa, se denominan conjugados . Observa que si multiplicas dos conjugados complejos juntos obtienes $(a + b\rm{i})(a-b\rm{i}) = a^{2}+b^{2} \in \mathbb{R}$ Esto se relaciona con el caso de precálculo en el que se racionaliza un denominador multiplicando $(a+b\sqrt{d})(a-b\sqrt{d}) \in \mathbb{Q}$ En este contexto, también existe una conexión con los automorfismos de campo de $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ .
En un grupo $G$ sólo hay una operación. Un ejemplo común de un automorfismo de un grupo es conjugación por un elemento $g \in G$ es un mapa biyectivo desde $G \to G$ dado por $x \mapsto g^{-1} x g$ . Dos elementos $h_{1}, h_{2} \in G$ se llaman conjugados si existe algún $g \in G$ tal que $h_{2} = g^{-1} h_{1} g$ . (Nótese que a veces hay otros automorfismos de un grupo que no son equivalentes a la conjugación por un elemento. Los elementos del grupo que son equivalentes bajo estos otros tipos de automorfismos no suelen llamarse conjugados).
