La evaluación de $\sum_{n \geq 1}\ln \!\left(1+\frac1{2n}\right) \!\ln\!\left(1+\frac1{2n+1}\right)$

Question

Es allí una manera directa para evaluar la siguiente serie?

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\ln \!\izquierda(1+\frac1{2n}\right) \!\ln\!\izquierda(1+\frac1{2n+1}\right)=\frac12\ln^2 2. \tag1 $$

He intentado telescópica sumas sin éxito. La convergencia es clara. Dada la sencillez del resultado, estoy inclinado a pensar que podría existir una forma elegante para conseguir $(1)$.

Answer 1

Uso: $$\left(\ln\left(1+\frac{1}{2n}\right)+\ln\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)\right)^2=\ln^2\left(1+\frac{1}{2n}\right)+\ln^2\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)+2\ln\left(1+\frac{1}{2n}\right)\ln\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)$$ $$\Rightarrow \ln\left(1+\frac{1}{2n}\right)\ln\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{1}{2}\left(\ln^2\left(1+\frac{1}{n}\right)-\ln^2\left(1+\frac{1}{2n}\right)-\ln^2\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)\right)$$ Por lo tanto, la suma en el problema dado es: $$\frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\ln^2\left(1+\frac{1}{n}\right)-\sum_{n=1}^{\infty}\ln^2\left(1+\frac{1}{2n}\right)-\sum_{n=1}^{\infty}\ln^2\left(1+\frac{1}{2n+1}\right)\right)$$

Observe que todos los términos de la primera suma son cancelados por los otros dos sumas con la excepción de $n=1$, por lo tanto nuestra respuesta es: $$\boxed{\dfrac{1}{2}\ln^22}$$