La descomposición de la Permutación de la Representación

Question

Deje $G$ ser finito grupo que actúa sobre un conjunto finito, 2-transitivamente, y $(\rho,V)$ la correspondiente permutación representación de $G$$\mathbb{C}$. A continuación, se sabe que $V$ es suma directa de un trivial representación y una representación irreducible. Las conocidas pruebas de este hecho uso de caracteres de la teoría.

Traté de demostrar por el carácter "libre" de la siguiente manera:

Deje $\{ e_1,\cdots, e_n\}$ ser una base de $V$ que $G$ está actuando de 2 transitivamente. A continuación, $V$ es suma directa de dos $G$-subespacios invariantes:

$V_0=\langle e_1+e_2+\cdots + e_n\rangle$, e $V_1=\langle e_1-e_2,e_2-e_3,\cdots, e_{n-1}-e_n\rangle$, e $G$ actos trivialmente en $V_0$.

Para mostrar que $V_1$ es irreductible, de proceder de la siguiente manera:

Deje $W\subseteq V_1$ $G$- subespacio invariante.

Caso $1$: Si $e_i-e_{i+1}\in W$ algunos $i$, luego por 2-transitividad de $G$, $\exists g\in G$ tal que $g.e_i=e_j$$g.e_{i+1}=e_{j+1}$, por lo tanto $g.(e_i-e_{i+1})=e_j-e_{j+1}$, por lo tanto $W$ contiene todos los vectores de la base de $V_1$, por lo tanto $W=V_1$.

Pregunta ¿Cómo podemos proceder en Caso de $2$ para la prueba?

Answer 1

Para demostrar que $V_1$ es irreductible, es suficiente para demostrar que $\mathrm{End}_{\mathbb{C}G}(V_1)$ es unidimensional. (Subproof: si $V_1$ tiene un valor distinto de cero adecuada subrepresentation $W$ $V_1 = W \oplus C$ para algunos complementarios representación $C$. La proyección de mapas en $W$ y en $C$ correspondiente a esta descomposición son linealmente independientes).

Deje $\theta \in \mathrm{End}_{\mathbb{C}G}(V_1)$. Extender $\theta$ a un endomorfismo de $V = V_0 \oplus V_1$ mediante el establecimiento $\theta(V_0) = 0$.

Por definición, $G$ actúa en $\{1,2,\ldots, n\}$. Deje $H = \mathrm{Stab}_{G}(1)$. Supongamos que

$$\theta(e_1) = a e_1 + \sum_{i=2}^n b_i e_i$$

donde $a \in \mathbb{C}$ $b_i \in \mathbb{C}$ por cada $i \in \{2,\ldots, n\}$. Desde $h \cdot 1 = 1$ por cada $h \in H$, e $\theta$ $\mathbb{C}G$- homomorphism, el vector

$$\sum_{i=1}^n b_i e_i \in V_1 $$

es $H$-invariante. Pero $H$ tiene una sola órbita en $\{2,\ldots,n\}$ porque $G$ $2$- transitiva. Por lo tanto, $b_i$ es constante para $i \in \{2,\ldots,n\}$. Deje $b$ ser un valor común.

Para terminar, recoger $g_1, \ldots, g_n \in G$ tal que $g_i \cdot 1 = i$ por cada $i \in \{1,2,\ldots, n\}$. Tenemos

$$ 0 = \theta\bigl( \sum_{i=1}^n e_i \bigr) = \theta\bigl( \sum_{i=1}^n g_i \cdot e_1 \bigr) = \sum_{i=1}^n g_i \cdot \theta(e_1). $$

Comparando el coeficiente de $e_1$ en ambos lados da $a+(n-1)b = 0$. Por lo $\theta$ está determinado por $a$ y, como se ha dicho, $\mathrm{dim}\ \mathrm{End}_{\mathbb{C}G} (V_1) = 1$.