Divergente La Serie

Question

El pensamiento acerca de divergente la serie y formas de "suma", que parece que caen en dos categorías (aproximadamente):

• Series como $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}$, que desafían todo tipo de regularización o de la suma de los métodos.
• La serie, que pueden sintetizarse, de una manera o de otra, como $\sum_{k=1}^\infty k^s$, que por lo menos $s \geq 1$ puede ser visto como $\zeta(-s)$.

Mi pregunta es:

• Puede el groundfields $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ser extented en algunos aspectos (como la Hyperreals $\mathbb{R}^*$, o el surreals $\mathbb{S}_\mathbb{R}$ o el surcomplex números de $\mathbb{S}_\mathbb{C}$), de forma que se puedan sumar todos los divergentes de la serie (al menos el segundo tipo de arriba) en un más riguroso de la moda de la bolsa de trucos que se suelen utilizar para explicar estos resultados.
• Esto suena como una "especie de" finalización de los reales con todos los summable pero divergentes de la serie. Me gustaría saber si un animal existen, cuáles son sus propiedades y si el $\sum_{k=1}^\infty k^s=\zeta(-s)$ resultados pueden ser explicados a partir de este.

Answer 1

La respuesta a su pregunta depende de las propiedades que se desea que estas sumas de dinero que tienen, y cuáles son las propiedades que desea que el campo extendido a tener.

Si desea ampliar los reales de tal manera que satisfagan los axiomas elementales de álgebra (conmutatividad de la adición, etc.), pero desea que el sistema extendido para incluir cantidades infinitas, entonces usted va a salir con exactamente el hyperreal número de sistema que ya he mencionado. (Ver [*] a continuación para obtener una declaración formal de este.)

Pero el hyperreals no son necesariamente va a tener el resto de propiedades que te pueden gustar. En particular, nos gustaría ser capaces de decir si o no dos divergentes de la serie tienen la misma suma. Pero la norma constructiva para la hyperreals consiste en tomar clases de equivalencia de las secuencias, con la relación de equivalencia definida por un ultrafilter. Desde ultrafilters no puede ser explícitamente construido, no se puede decir, en general, si las secuencias divergentes se "acerca" de la misma hyperreal número. Lo que puedo decir es que si dos secuencias convergentes se aproxima el mismo número real.

Esto es un montón de cosas técnicas sobre el hyperreals, sino que surge de los más consideraciones generales acerca de cómo de campo axiomas de trabajo. Básicamente lo que nos detiene de hacer lo que te gustaría hacer en una manera totalmente satisfactoria es que el campo axiomas sólo se ocupan de un número finito de operaciones. Por ejemplo, si la asociatividad de la suma aplicado a infinito sumas, entonces podríamos reescribir la divergentes suma $1-1+1-1+\ldots$$1+(-1+1)+(-1+1)+\ldots=1$. Debido a que el campo axiomas de la falta de este tipo de poder sobre los infinitos procesos, realmente no se puede hacer infinitas sumas se comportan como finito. La ambigüedad en la asociatividad de la suma de $1-1+1+\ldots$ es muy parecida a la ambigüedad involucrados en la especificación de un ultrafilter.

Si utiliza un sistema como el surreals, entonces usted tiene que renunciar a la capacidad de hablar de funciones trascendentes y hacer el análisis.

[*] El hyperreals son la extensión de los reales que se obtiene cuando se demanda la transferencia de principio de todas las declaraciones en la lógica de primer orden, pero tomar el recíproco de la Arquímedes de propiedad, como un axioma. También cosas como funciones trascendentes, que no es inmediatamente obvio que usted obtenga de forma gratuita desde la transferencia de principio. El hyperreals no son los únicos que en ZFC, pero los diferentes modelos no difieren en formas que marcan la diferencia en esta discusión. El hyperreals falta de la integridad de la propiedad de los reales: http://en.wikipedia.org/wiki/Completeness_of_the_real_numbers

Answer 2

Una relacionada con el concepto es el de un límite de Banach. En ese caso, uno no se extiende a los reales, sino que se extiende a la funcional que asigna un límite para cada secuencia. Estas extensiones no son únicos, sino que existen.

En el otro extremo del espectro, usted podría simplemente ampliar los números reales para todas las secuencias modulo algunas de las relaciones de equivalencia.