Si $\beta:T\rightarrow S$ existe $\beta\alpha=id_{S}$
encontramos fácilmente que $\alpha\left(s\right)=\alpha\left(s'\right)$
implica que $s=\beta\alpha\left(s\right)=\beta\alpha\left(s'\right)=s'$
mostrando que $\alpha$ es inyectiva.
Por el contrario vamos a $\alpha:S\rightarrow T$
ser inyectiva. Si $s_{0}\in S$, entonces podemos construir $\beta:T\rightarrow S$
mediante el envío de cada elemento $t=\alpha\left(s\right)\in\alpha\left(S\right)$
a la única $t\in T$. Elementos no contenidos en $\alpha\left(S\right)$
puede ser enviado a $s_{0}$. A continuación,$\beta\alpha=id_{S}$. Nota, sin embargo,
que esto no tiene que trabajar si $S=\emptyset$. Tenemos el único vacío
mapa de $\alpha:\emptyset\rightarrow T$ que es vacuously inyectiva.
Sólo si también se $T=\emptyset$ entonces no existe el vacío mapa de $\beta:T=\emptyset\rightarrow\emptyset$
y, de hecho,$\beta\alpha=id_{\emptyset}$. Sin embargo, si $T\ne\emptyset$
el mapa no $\beta:T\rightarrow\emptyset$ existe.
Así que la declaración: si
$\alpha:S\rightarrow T$ es inyectiva, a continuación, $\beta\alpha=id_{S}$
algunos $\beta:T\rightarrow S$, es verdadera en virtud de la condición adicional de que
$S\ne\emptyset\vee T=\emptyset$.
Si $S$ es un singleton, a continuación, automáticamente
$\beta$ es único. Sin embargo, si por otra parte $T$ no es un singleton, a continuación,
$\alpha$ no es un bijection. Así, la singularidad de $\beta$ no implica
que $\alpha$ es bijective. Para ello necesitamos la condición adicional de que $S$ no es singleton o $T$ es un singleton.
Si $\alpha\beta=id_{T}$ $t=\alpha\left(\beta\left(t\right)\right)$
para cada una de las $t\in T$, lo que muestra inmediatamente que $\alpha$ es surjective.
Por el contrario vamos a $\alpha:S\rightarrow T$ ser surjective. Después construimos
$\beta:T\rightarrow S$ mediante el envío de cada elemento $t$ por uno de un
elementos de la $s\in S$ que es suficiente $\alpha\left(s\right)=t$. Entonces automáticamente
$\alpha\beta=id_{T}$. Tenga en cuenta que esta ecuación implica que $\beta(t)$ pertenece a las fibras de $\alpha^{-1}\left(\left\{ t\right\} \right)$, por lo que es necesario.
Si esto $\beta$ $\alpha\beta=id_{T}$ es único
a continuación, para cada una de las $t\in T$ fibra $\alpha^{-1}\left(\left\{ t\right\} \right)$
contiene exactamente un elemento. Esto nos dice que el surjective $\alpha$
también es inyectiva, por lo tanto bijective.
En la categoría Conjuntos de cada epimorphism (surjection) es una retracción (segundo caso), pero no todos los monomorphism (inyección) es una sección (primer caso). Las excepciones son los elementos en $\mathbf{Sets}\left(\emptyset,T\right)$ donde $T\ne\emptyset$. Son inyectiva pero no son secciones.
He estado trabajando con conjuntos. Si están trabajando en grupos, anillos, etcétera, a continuación, el subyacente conjuntos no vacíos.
