¿Deben ser valores propios números?

Question

Esto es más una pregunta conceptual de cualquier otro tipo. Hasta donde yo sé, se puede definir matrices más arbitrario de los campos, y así hacer de álgebra lineal en diferentes entornos, que en el típico estudiante de primer año de curso.

Ahora, ¿cómo el concepto de autovalores traducir a la hora de hacerlo? Por supuesto, una matriz no necesitan tener los autovalores en un campo determinado, que yo sepa. Pero los valores deben ser números?

Hay ejemplos de campos como el de las funciones racionales. Si tenemos una matriz sobre dicho campo, podemos tener funciones racionales como valores propios?

Answer 1

Claro. La definición de un valor propio no es necesario que el campo en cuestión es el del verdadero o números complejos. De hecho, incluso no necesita ser una matriz. Todo lo que necesita es un espacio del vector $V$ sobre un campo $F$ y un mapeo lineal $$L: V\to V. $$

Entonces, $\lambda\in F$ es un valor propio de $L$ y sólo si existe un elemento distinto de cero $v\in V$ tal que $L (v) = \lambda v$.

Answer 2

Valores propios deben ser elementos de la esfera. Los ejemplos más comunes de campos que contienen los objetos que solemos llamar a los números, pero esto no es parte de la definición de un autovalor. Como contraejemplo, en el campo de $\mathbb R(x)$ de expresiones racionales en una variable $x$, con coeficientes reales. Los $2\times 2$ matriz sobre dicho campo

$$\left(\begin{matriz} x & 0 \\ 0 & \frac1x \end{matriz}\right)$$

tiene los autovalores de $x$ y $1/$ x: no números desconocidos, pero los elementos conocidos del campo $\mathbb R(x).$

Answer 3

Pregunta muy interesante. Considere la posibilidad real de los valores de la columna "vectores" que son las matrices $2N \times 2$, cada bloque de 2x2 en la forma $\left[\begin{array}{rr}a&b\\b&\end{array}\right]$. Esta es una famosa representación para los números complejos $a+bi$. Así que si tenemos un bloque de matriz en la misma forma podemos encontrar "valores propios", el cual será 2x2 bloques de números complejos (en el mismo bloque de la representación). Esta idea puede ser extendida a tipos más avanzados de "números". Esto conduce a la idea de que el más avanzado de los "números" de sí mismos son matrices - si los elementos son "más simple" de los números en algún sentido. En lugar de un autovalor de descomposición con respecto a las más simples números, se obtiene un bloque autovalor de descomposición. Si usted está interesado en esta me animo a leer más acerca de la Teoría de la Representación donde los tipos más avanzados de los números se escriben como matrices con elementos de una forma menos complicada de tipo de número. Por ejemplo, el campo de cuaterniones a su vez puede ser escrito como una matriz de $2 \times 2$ de números complejos - y dado que estas a su vez son de $2 \times 2$ los números reales podemos ver como una matriz con $4 \4 veces$ números reales. Así podemos conseguir una "jerarquía" de más o de menos "avanzados" de los números, dependiendo del tamaño de la matriz de bloques miramos.