Ejemplo de un No-Abelian Infinita Grupo

Question

Yo era la caza de un ejemplo no trivial de la infinita grupo en el que

1) Todos los no-trivial normal subgrupo no son abelian.

2) existe un trivial subnormal abelian subgrupo.

Hay alguna esperanza para averiguarlo?

Nota

En el caso finito un ejemplo no es posible (ver aquí).

La notación

Un subgrupo H de un grupo G es un subnormal subgrupo de G si hay un número finito de la cadena de subgrupos del grupo, cada uno normal en el siguiente, comenzando en H y terminando en la G.

Answer 1

La siguiente es una respuesta parcial, se proporciona un ejemplo de un grupo de $G$ que contiene subnormal abelian subgrupos dentro de algunos de los subgrupos $M$ pero no uno normal dentro de este subgrupo. Puede ser una variación de esta da una respuesta completa.

Dado un campo $\mathbb{F}$, se puede construir la libre $\mathbb{F}$-módulo sobre el conjunto de los números racionales. Suponga que $(v_x)_{x \in \mathbb{Q}}$ es una base de este espacio lineal (indexados por los números racionales). Para cada par de números racionales $x <y$ considera $e_{xy}$ la transformación lineal que los mapas de $v_x$$v_y$, y los mapas de los otros elementos de la base de a $0$. Ahora vamos a definir el McLain grupo $M=\operatorname{M}(\mathbb{Q},\mathbb{F})$ a ser el grupo generado por todas las transformaciones lineales de la forma $1+ae_{xy}$ , $x<y$ y $a \in \mathbb{F}$ (tenga en cuenta que todas estas transformaciones están invertible).

Uno necesita dos hechos acerca de $M$, en primer lugar, es generado por abelian normal subgrupos. En segundo lugar, es característico simple (que no contiene adecuada trivial característica del subgrupo). Estos hechos no son muy difíciles de probar, y uno puede encontrar una prueba de ellos en Robinson "Un curso en la Teoría de Grupos".

Deje $G$ ser el semi-producto directo de la $M$$\operatorname{Aut}(M)$.

Como $M$ contiene no trivial abelian normal subgrupos y $M$ es normal en $G$, $G$ contiene subnormal no trivial abelian subgrupos acostado en $M$. Sin embargo, si $M$ contiene un abelian $G$-subgrupo invariante $A$, $A$ es característico en $M$, una contradicción.

Uno debe notar que cada normales abelian subgrupo de $G$ intersecta $M$ trivialmente, y centraliza $M$.