El siguiente hilo en math.stackexchange.com propone un término constante para la expansión asintótica de $$\sum_{1\le k \le n} \frac{\varphi(k)}{k^2}.$$
Yo estoy haciendo un término diferente y me gustaría saber que es lo correcto.
Mi cálculo es como sigue: en primer lugar recordar la clásica identidad $$ \sum_{d\mid n} \varphi(d) = n,$$ que da la convolución de Dirichlet $$ \varphi \estrellas 1 = n \quad \text{y, por tanto,} \quad \sum_{n\ge 1} \frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}.$$ Para evaluar la suma de uso de la Mellin-Perron tipo integral $$\int_{2-i\infty}^{2+i\infty} (s) n^s \frac{ds}{s} = -\frac{1}{2}\frac{\varphi(n)}{n^2} + \sum_{k=1}^n \frac{\varphi(k)}{k^2} \quad \text{donde} \quad(s) = \frac{\zeta(s+1)}{\zeta(s+2)}.$$ y giro a la izquierda para recoger el residuo de a $s=0$, al pasar $$ \frac{6}{\pi^2} \log n + \left(\frac{6\gamma}{\pi^2} - \frac{36}{\pi^4} \zeta'(2)\right) + O\left( \frac{\log n}{n} \right).$$
Adenda. En vista de Eric Naslunds excelente comentario de abajo (la segunda para precisar los detalles que faltan) tal vez podríamos preguntar si alguien es capaz de abastecer a aquellos falta de límites en el resto del contorno de la Mellin-Perron integral, convirtiendo a esta pregunta en una referencia útil. Aquí es un MSE reto del mismo tipo.