la constante en la asymptotics de $\sum_{1\le k \le n} \frac{\varphi(k)}{k^2}$

Question

El siguiente hilo en math.stackexchange.com propone un término constante para la expansión asintótica de $$\sum_{1\le k \le n} \frac{\varphi(k)}{k^2}.$$

Yo estoy haciendo un término diferente y me gustaría saber que es lo correcto.

Mi cálculo es como sigue: en primer lugar recordar la clásica identidad $$\sum_{d\mid n} \varphi(d) = n,$$ que da la convolución de Dirichlet $$\varphi \estrellas 1 = n \quad \text{y, por tanto,} \quad \sum_{n\ge 1} \frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}.$$ Para evaluar la suma de uso de la Mellin-Perron tipo integral $$\int_{2-i\infty}^{2+i\infty} (s) n^s \frac{ds}{s} = -\frac{1}{2}\frac{\varphi(n)}{n^2} + \sum_{k=1}^n \frac{\varphi(k)}{k^2} \quad \text{donde} \quad(s) = \frac{\zeta(s+1)}{\zeta(s+2)}.$$ y giro a la izquierda para recoger el residuo de a $s=0$, al pasar $$\frac{6}{\pi^2} \log n + \left(\frac{6\gamma}{\pi^2} - \frac{36}{\pi^4} \zeta'(2)\right) + O\left( \frac{\log n}{n} \right).$$

Adenda. En vista de Eric Naslunds excelente comentario de abajo (la segunda para precisar los detalles que faltan) tal vez podríamos preguntar si alguien es capaz de abastecer a aquellos falta de límites en el resto del contorno de la Mellin-Perron integral, convirtiendo a esta pregunta en una referencia útil. Aquí es un MSE reto del mismo tipo.

Answer 1

Su cálculo es correcto. La hipérbola método también rinde $$\sum_{n\leq x}\frac{\phi(n)}{n^2}=\frac{\log x}{\zeta(2)}+\frac{\gamma}{\zeta(2)} -\frac{\zeta^{'}(2)}{\zeta(2)^2}+O\left(\frac{\log x}{x}\right).$$

Mi respuesta anterior contenía un pequeño error, y ha sido actualizado. Yo debería haber expandido $\log \left(\frac{x}{d}\right)$$\log x-\log d$, pero se me olvidó la $\log d$ y escribió sólo $\log x$, y, en consecuencia, no existía $\zeta^{'}(2)$ plazo.

Comentarios adicionales: tener cuidado al usar el contorno de la integración si usted está tratando de demostrar un mejor término de error. El residuo se dará siempre que el término principal casi al instante, pero para el término de error, es necesario utilizar los Lemas con respecto a los límites en el tamaño de $\zeta(s)$ como $t$ va al infinito, de modo que usted puede demostrar que cada parte de la curva de nivel que pasa a cero. No asuma que se debe ir a cero, dado que a menudo, esto es simplemente falso.

Un excelente ejemplo es el promedio de $\frac{\phi(n)}{n}$, que es la suma de $\sum_{n\leq x} \frac{\phi(n)}{n}$. Uno puede mostrar que $$\sum_{n\leq x} \frac{\phi(n)}{n}=\frac{6}{\pi^2}x+O(\log x)$$ por cualquiera de los métodos de primaria o el contorno de integración, pero podemos preguntarnos cuánto mejor si el término de error. Si no eres muy cuidadoso con los límites en zeta, entonces usted podría convencerse de que uno puede obtener el término de error $O(e^{-c\sqrt{\log x}})$. Sin embargo, este es demostrablemente falsa.