La cuestión es la siguiente:
Dejemos que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sea diferenciable en $x=0$ y supongamos que hay un número $L$ tal que $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-f(x/2)}{x/2}=L.$$ Demostrar que $f'(0)=L$ .
Aquí está mi respuesta con todos los teoremas referenciados siendo de Rudin:
Dejemos que $a_n$ sea una secuencia positiva que converge a cero y $$\varphi_n(x)=\frac{a_nf'(0)+2\big(f(x)-f(x/2)\big)}{x+a_n}.$$ Entonces $$\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{x\rightarrow0}\varphi_n(x)=f'(0)$$ mientras que $$\lim_{x\rightarrow0}\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_n(x)=L.$$ Por el teorema 7.11 entonces, si $\varphi_n(x)$ converge uniformemente a $\varphi(x)=\frac{f(x)-f(x/2)}{x/2}$ sobre un conjunto $E$ y $0$ es un punto límite de $E$ entonces $L=f'(0)$ . Dejemos que $E=[0,1]$ . Entonces para $x\in E$ , $$\big|\varphi_n(x)-\varphi(x)\big|=a_n\bigg|\frac{xf'(0)-2\big(f(x)-f(x/2)\big)}{x+a_n}\bigg|=a_n\big|f'(0)-\varphi_n(x)\big|\leq a_n\big(|f'(0)|+|\varphi_n(x)|\big)\leq a_n\bigg(|f'(0)|+\bigg|\frac{a_nf'(0)}{x+a_n}\bigg|+\bigg|\frac{2\big(f(x)-f(x/2)\big)}{x+a_n}\bigg|\bigg)< a_n\big(|2f'(0)|+|L|\big)\rightarrow0.$$ Así que por el teorema 7.9 $\varphi_n(x)$ converge uniformemente a $\varphi(x)$ en $E$ y por lo tanto $f'(0)=L$ .
Lo que no entiendo es que no podría haber puesto básicamente cualquier cosa, digamos $\pi$ en lugar de $f'(0)$ en $\varphi_n(x)$ y se ha demostrado que de hecho $L=\pi$ ? No sé dónde me he equivocado. Cualquier ayuda es muy apreciada.
