Derivados de la adición de la fórmula de $\sin u$ de un total de ecuación diferencial

Question

Cómo hacer que se derivan de la adición de la fórmula de $\sin u$ a partir de la siguiente ecuación?

$$\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = 0$$

La motivación

Deje $u = \int_{0}^{x}\frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$ A continuación, $x = \sin u$

Deje $v = \int_{0}^{y}\frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$ A continuación, $y = \sin v$

Deje $u + v = const.$

A continuación, $d(u + v) = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = 0$

Answer 1

(esto no es realmente una respuesta, pero he pasado un tiempo pensando acerca de su pregunta y este comentario es demasiado largo para un comentario!)

Me explico un par de inquietudes que tengo sobre la posible circularidad de la propuesta de derivación. Si la derivación consiste en:

$$ \frac{d}{dx} (\sin(x)) = \cos(x) $$

entonces esto plantea la pregunta: ¿cómo es esto? Si adoptamos el enfoque estándar,

$$ \begin{align} \frac{d}{dx} (\sin(x)) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin(x+h)-\sin(x)}{h} \\ &=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \sin(x)\cos(h)+\sin(h)\cos(x)-\sin(x)}{h} \\ &=\sin(x)\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ \cos(h)-1}{h}+\cos(x)\lim_{h \rightarrow 0}\frac{\sin(h)}{h} \\ &= \sin(x)(0)+\cos(x)(1) \\ &=\cos(x). \end{align} $$ luego nos implícitamente el uso del seno de la suma de ángulos fórmula cada vez que nos tomamos la derivada de seno. Con el fin de hacer la propuesta de derivación no circular, necesitamos una manera de mostrar a $\frac{d}{dx} \sin(x) = \cos(x)$ sin el uso de la adición de ángulos fórmula para el seno.

La conexión de un comentario; aplicando la Regla de L'Hospital para obtener el $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\cos(h)}{1} = \cos(0)=1$ es circular. Necesito el límite de $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\sin(h)}{h}=1$ con el fin de mostrar la derivada del seno es el coseno.

Obviamente, si usted puede proporcionar una definición de seno y coseno, que está divorciada de la adición de ángulos de la fórmula, a continuación, la propuesta de derivación se vuelve más interesante.

Voy a seguir countinghaus comentario y giro un poco. Una forma alternativa de definir el seno y el coseno es como las soluciones de la ODE $y''+y=0$. Si decimos que el seno es impar, la solución y el coseno es la solución entonces se puede derivar la norma identidades para el seno y coseno a través de su presentación como potencia de la serie(que son fácilmente derivados de $y''+y=0$). Leí esto en Edward Cálculo Avanzado de texto, yo apuesto a que no puede encontrar en otros lugares. Continuando en esta línea de pensamiento, una vez que la etiqueta de la alimentación de la serie $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$$\cos(x)$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$$\sin(x)$, entonces podemos seguir countinghaus comentario y se derivan de la adición de ángulos fórmula a través de su argumento.

El argumento outined de arriba es intrigante porque no parece que el uso de la geometría analítica. En contraste, el enfoque usual tomo es definir $\sin(x),\cos(x)$ por la ampliación de derecho de la trigonometría del triángulo para hacer coordenadas polares fórmulas de trabajo. A continuación, la adición de ángulos fórmulas se derivan a través de los argumentos de la geometría analítica. En particular, si se aplica la ley de los cosenos para un triángulo con ángulo de $a-b$ inscritos en la unidad de círculo, a continuación, las fórmulas $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$. Una vez que se conoce, la costumbre, además de ángulo fórmulas se caen fácilmente.

En resumen: realmente quiero ver esta derivación que se proponen, pero, tal vez se debe hacer con el entendimiento de que el seno y el coseno se definen de alguna manera divorciado directo de la geometría analítica.

Answer 2

Deje $u = \int_{0}^{x}\frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$. A continuación,$x = \sin u$.

Deje $v = \int_{0}^{y}\frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}$. A continuación,$y = \sin v$.

Deje $c$ ser una constante. $u + v = c$ es una solución de la ecuación:

$$\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = 0$$

Basta probar que $\sin c = x\sqrt{1 - y^2} + y\sqrt{1 - x^2}$. Desde $v = c - u$, el lado derecho es una función de $u$. Escribimos esta función por $f(u)$. Es decir, $$f(u) = x\sqrt{1 - y^2} + y\sqrt{1 - x^2}$$

Permítanos calcular el $\frac{df}{du}$.

$\frac{dx}{du} = 1/\frac{du}{dx} = \sqrt{1 - x^2}$

$\frac{dy}{du} = -\frac{dy}{dv} = -1/\frac{dv}{dy} = -\sqrt{1 - y^2}$

$\frac{d^2x}{du^2}= \frac{d\sqrt{1 - x^2}}{du}\cdot\frac{dx}{du} = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}} \sqrt{1 - x^2} = -x$

$\frac{d^2y}{du^2}= \frac{d^2y}{dv^2} = -y$

Por lo tanto $\frac{df}{du} = \frac{d}{du} (x-\frac{dy}{du} + y\frac{dx}{du}) = (-\frac{dx}{du}\frac{dy}{du} - x\frac{d^2y}{du^2}) + ( \frac{dy}{du}\frac{dx}{du}+y\frac{d^2x}{du^2}) = xy - yx = 0$

Por lo tanto $f(u)$ es constante. Por lo tanto $f(u) = f(0) = y = \sin(v) = \sin(c)$ como se desee.