¿Por qué el producto de todas las unidades de un campo finito es igual a $-1$ ?

Question

Supongamos que $F=\{0,a_1,\dots,a_{q-1}\}$ es un campo finito con $q=p^n$ elementos. Tengo curiosidad, ¿por qué el producto de todos los elementos de $F^\ast$ igual a $-1$ ? Sé que $F^\ast$ es cíclico, digamos generado por $a$ . Entonces el producto en cuestión puede escribirse como $$a_1\cdots a_{q-1}=1\cdot a\cdot a^2\cdots a^{q-2}=a^{(q-2)(q-1)/2}.$$ Sin embargo, tengo problemas para saltar de ese producto a $-1$ . ¿Cuál es la observación clave que hay que hacer aquí? Gracias.

Answer 1

Los únicos elementos de un campo para que $x^2=1$ son $1$ y $-1$ . Por lo tanto, al multiplicar todos los elementos distintos de cero, cada elemento menos $1$ y $-1$ se emparejará con su inversa. Así, el producto es $-1$ .

Nota para campos con la característica 2:

En un campo característico $2$ , $-1=1$ por lo que sólo hay un elemento para que $x^2=1$ . Por lo tanto, el producto sigue siendo $-1=1$ .

Answer 2

Si la inversa de $x$ no es igual a $x$ par $x$ con su inversa. Obsérvese que si $x$ se empareja con $y$ entonces $y$ se empareja con $x$ . Los únicos objetos que no se emparejan son los que son su propio inverso.

El objeto $x$ es su propia inversa si $x^2=1$ o, de forma equivalente $(x-1)(x+1)=0$ . Si la característica del campo es $\ne 2$ hay dos soluciones, $1$ y $-1$ . El producto de dos elementos emparejados cualesquiera es $1$ por lo que el producto de todos los elementos emparejados es $1$ . El producto de $1$ y $-1$ es $-1$ por lo que el producto completo es $-1$ .

Si la característica es $2$ entonces $-1=1$ . El producto de los elementos emparejados es $1$ por lo que el producto completo es $1$ . Pero esto es igual a $-1$ .

Observación: Aunque prefiero el argumento del emparejamiento, el tuyo servirá. Tomemos por ejemplo el caso característico $\ne 2$ . Si $w=a^{(q-1)/2}$ entonces $w^2=1$ . Pero $w\ne 1$ Así que $w=-1$ . Desde $q-2$ es impar, se deduce que $\left(a^{(q-1)/2}\right)^{q-2}=-1$ .

Answer 3

Se trata de un caso especial de Teorema de Wilson en un grupo conmutativo finito . Véanse, por ejemplo, las pp. 253-255 de estas notas por la declaración y la prueba.

Añadido : He aquí una respuesta más directa a su pregunta. Escriba a

$a^{(q-2)(q-1)/2}$ como $\left( a^{\frac{q-1}{2}} \right)^{q-2}$ . Ahora intenta convencerte de que

(i) $a^{\frac{q-1}{2}} = -1$ y
(ii) $(-1)^{q-2} = -1$ .

Para (i), existe una receta general para el orden de una potencia de un generador en un grupo cíclico. Si no la conoce, consulte, por ejemplo, la Proposición 250 de la página 241 de las mismas notas . Deberías ser capaz de hacer (ii) fácilmente; para un crédito extra, puede que quieras comprobar que $a^{q-2} = a^{-1}$ para todos $a \in \mathbb{F}_q^{\times}$ .

Answer 4

En $q-1$ elementos de $F^*$ son raíces del polinomio $x^{q-1}-1$ . Por lo tanto, $$-1 = \prod_{\alpha \in F^{*}} (-\alpha) = (-1)^{q-1}\prod_{\alpha \in F^{*}} \alpha \Rightarrow \prod_{\alpha \in F^{*}} \alpha = (-1)^q = \begin{cases}-1,&q ~ \text{odd},\\ +1,&q ~ \text{even},\end{cases}$$ pero, como André te recordó, $-1 = +1$ si la característica del campo es $2$ , y por lo tanto no necesitamos hacer casos especiales sino simplemente escribir que $\displaystyle \prod_{\alpha \in F^{*}} \alpha = -1$ .