la sustracción de dos números irracionales para obtener un racional

Question

Digamos que tienes un número como $\pi$ o e. ¿Es posible restarle otro número y terminar con un número racional? Es decir, supongo que se podría escribir una ecuación como $\pi-x=3$ Pero, ¿podría haber alguna vez una solución para x (que pudiéramos conocer y escribir)?

Corrección: Cualquier número además del propio número irracional. Los malditos matemáticos son demasiado rápidos

Answer 1

Si tomas cualquier número real $x\in\mathbb{R}$ se puede demostrar que el conjunto de $y\in\mathbb{R}$ tal que $x-y\in\mathbb{Q}$ es exactamente $x+\mathbb{Q}$ .

Dejemos que $y$ estar en $\mathbb{R}$ con $x-y$ siendo racional entonces $y=x-(x-y)$ para que $y\in x+\mathbb{Q}$ . Por otro lado, si $y=x+q$ con $q\in\mathbb{Q}$ entonces $x-y=-q\in\mathbb{Q}$ .

Así que esto es bastante fácil. Sin embargo, creo que no se sabe si $\pi+e$ es racional o no... Lo que sabemos es que, o bien $\pi e$ o $\pi+e$ (tal vez ambos) es irracional...

Supongamos que ambos $\pi e$ y $\pi+e$ son racionales entonces :

$P(x):=(x-\pi)(x-e)=x^2-(\pi+e)x+\pi e$ es un polinomio con coeficientes racionales. Esto implica que tanto $\pi$ y $e$ son números algebraicos que no pueden ser verdaderos...

Answer 2

$\pi - \pi = 0$ que es racional.

Editar: $\pi - (\pi -1) = 1$ que es una diferencia de dos irracionales diferentes que es racional. ¿Cómo es eso?

Answer 3

.223456789101112131415... - .123456789101112131415... = .1