Pregunta de opción múltiple: Vamos a $f$ ser toda una función tal que $\lim_{|z|\rightarrow\infty}|f(z)|$ = $\infty$.

Question

Deje $\displaystyle f$ ser toda una función tal que $$\lim_{|z|\rightarrow \infty} |f(z)| = \infty .$$ ,

1. $f(\frac {1}{z})$ tiene una singularidad esencial en 0.

2. $f$ no puede ser un polinomio.

3. $f$ tiene un número finito de ceros.

4. $f(\frac {1}{z})$ tiene un polo en 0.

Por favor, sugieren que una de las opciones parece correcto.

Estoy pensando en que $f$ puede ser un polinomio y, entonces, la opción (2) no se sostiene.

Además, si $f(z) = \sin z$, entonces tiene un número infinito de ceros... que las reglas (3), mientras que para $f(z) = z$ indica que tiene un simple poste de $0$ y la opción (4) parece correcta.

Answer 1

Estás en lo correcto acerca de la $2$, y dado que, usted debería ser capaz de determinar si $1$ es verdadero o no-considere el ejemplo de $f(z)=z$.

Su ejemplo $f(z)=\sin z$ no cumple con los criterios dados. Tenga en cuenta que si hay infinitamente muchos ceros, entonces el conjunto de ceros es necesariamente ilimitado, porque si no, tiene un punto límite, y por lo que la función es idéntica a cero, que contradice nuestra suposición de que $\lim_{|z|\to\infty}|f(z)|=\infty$. Pero luego tenemos una secuencia $\{z_n\}$ tal que $|z_n|\to\infty$ pero $f(z_n)=0$ todos los $n$, por lo que una vez más, contradice nuestra suposición. Que se ocupa de la $3$.

Para $4$, ten en cuenta que desde $|1/z|\to\infty$$z\to 0$, luego por hipótesis, $\lim_{|z|\to 0}|f(1/z)|=\infty$, lo que significa que $f(1/z)$ tiene un polo en $z=0$. (H/T a J. J. por recordarme de esa característica de los polacos).