Si Euler es constante, es descrito como el límite cuando n se acerca a infinito de los siguientes:
tn=1+12+13⋯+1n−ln(n)
Cómo puede uno demostrar que tn es mayor que 0 para todos los valores de n?
Gracias!
Si Euler es constante, es descrito como el límite cuando n se acerca a infinito de los siguientes:
tn=1+12+13⋯+1n−ln(n)
Cómo puede uno demostrar que tn es mayor que 0 para todos los valores de n?
Gracias!
Por Abel suma de ∑k≤n1k=1+∫n1⌊t⌋t2dt≥1+∫n1t−1t2dt=log(n)+1n>log(n) where ⌊t⌋ es la función del suelo.
Desde 1+x≤exx∈R,log(1+x)≤xx>−1. Así, por x=−1n, 1n−log(nn−1)=log(1−1n)−(−1n)≤0 La desigualdad de (1) significa que n∑k=11k−log(n)\etiqueta2 es una disminución de la secuencia.
Sin embargo, usando el estándar de comparación de la suma y la integral de una función decreciente, n∑k=11k≥∫n+111xdx=log(n+1)≥log(n)
La desigualdad de (3) responde a la pregunta. Además, muestra que el (2) es no sólo una disminución de la secuencia, pero también acotada abajo por 0. Esto significa que (2) disminuye a un valor no negativo límite.
Este límite se conoce como γ, el de Euler-Mascheroni Constante, y de un modo bastante sencillo y eficaz método para calcular la γ se deriva en esta respuesta.
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