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Euler constante mayor que 0 para todos los valores de n?

Si Euler es constante, es descrito como el límite cuando n se acerca a infinito de los siguientes:

tn=1+12+13+1nln(n)

Cómo puede uno demostrar que tn es mayor que 0 para todos los valores de n?

Gracias!

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Dr. MV Puntos 34555

En primer lugar tenemos

log(k+1)logk=k+1k1udu1k

A continuación, podemos suma de ambos lados de (1) a revelar que

nk=1(log(k+1)logk)=log(n+1)nk=11k

Así, vemos que la (2) implica que

nk=11klog(n+1)0

y por lo tanto

nk=11klogn>0

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Kf-Sansoo Puntos 43568

En primer lugar, poner sn=1+12++1n, luego

1+12++1nlnn>0 porque:

1=211dx211xdx,

12=3212dx321xdx, y

.....

1n1=nn11n1dxnn11xdx, y añadir estas integrales tenemos:

sn=sn1+1nn11xdx+1n=lnn+1n>lnntn=snlnn>0

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Marco Cantarini Puntos 10794

Por Abel suma de kn1k=1+n1tt2dt1+n1t1t2dt=log(n)+1n>log(n) where t es la función del suelo.

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idlefingers Puntos 15957

Ya que la función x1/x:]0,[R es estrictamente decreciente, tenemos nk=11k>n+1x=11x=log(n+1) todos los n1. Pero, puesto que el log(n+1)>logn todos los n1, nk=11klogn>0 todos los n1.

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Anthony Shaw Puntos 858

Desde 1+xexxR,log(1+x)xx>1. Así, por x=1n, 1nlog(nn1)=log(11n)(1n)0 La desigualdad de (1) significa que nk=11klog(n)\etiqueta2 es una disminución de la secuencia.

Sin embargo, usando el estándar de comparación de la suma y la integral de una función decreciente, nk=11kn+111xdx=log(n+1)log(n)

La desigualdad de (3) responde a la pregunta. Además, muestra que el (2) es no sólo una disminución de la secuencia, pero también acotada abajo por 0. Esto significa que (2) disminuye a un valor no negativo límite.

Este límite se conoce como γ, el de Euler-Mascheroni Constante, y de un modo bastante sencillo y eficaz método para calcular la γ se deriva en esta respuesta.

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