¿Tiene nombre "Hacer una cosa a ambos lados de una ecuación"?

Question

Una pregunta en dos partes.

1

Verdadero o falso: cuando trabajas con una ecuación o desigualdad, todo lo que haces es o:

• una sustitución, o
• una operación realizada en cada lado

Tenga en cuenta que las simplificaciones algebraicas o numéricas son sustituciones - $2+2=4$ así que podemos sustituir $4$ donde $2+2$ está presente en una ecuación.

2

¿Existe un nombre genérico para "realizar una operación en ambos lados" de una ecuación/desigualdad?

¿Transformación? ¿Derivación de equivalencia? Creo que he oído "transponer" para el caso de sumar/restar algo a ambos lados para eliminarlo de un lado, pero no creo que se utilice para, por ejemplo, duplicar o elevar al cuadrado ambos lados.

Answer 1

¿Existe un nombre genérico para "realizar una operación en ambos lados" de una ecuación/desigualdad?

Sí. El nombre es álgebra (quizá "hacer álgebra" sea más apropiado y/o suene mejor).

Aquí hay tres fuentes:

• La palabra "álgebra" procede de un libro escrito en 830 por el astrónomo Mohammed ibn Musa al-Jumarizmi (c. 825), titulado Al-jabr w'al muqâbala . La palabra al-jabr significa "restablecer", en este contexto, restablecer el equilibrio en una ecuación colocando en un lado de una ecuación un término que se ha eliminado del otro; así, si $-7$ se elimina de $x^2 - 7 = 3$ el equilibrio se restablece escribiendo $x^2 = 7 + 3$ . Al' muqâbala significaba "simplificación", como al combinar $3x$ y $4x$ en $7x$ o restando términos iguales de ambos lados de una ecuación. [...] Cuando el libro de al-Khowarizmi se tradujo por primera vez al latín en el siglo XII, el título se tradujo como Ludus algebrae et almucgrabalaeque aunque también se utilizaron otros títulos. El nombre de la asignatura se acortó finalmente a álgebra. ( El libro de Kline )
• Él [al-Jwarizmi] lo hizo en su libro al-jabr w al-muqabalah . "Al-jabr" (de donde procede nuestra palabra "álgebra") denota el desplazamiento de un término negativo de una ecuación al otro lado para hacerlo positivo, y "al-muqabalah" se refiere a la cancelación de términos iguales (positivos) en ambos lados de una ecuación. Se trata, por supuesto, de procedimientos básicos para resolver ecuaciones polinómicas. Al-Khwarizmi (de cuyo nombre deriva el término "algoritmo") los aplicó a la solución de ecuaciones cuadráticas. ( El libro de Kleiner )
• El sentido matemático [de la palabra álgebra] procede del título de un libro árabe del siglo IX ilm al-jabr wa'l-mukabala la ciencia de restablecer lo que falta e igualar lo semejante con lo semejante", escrita por el matemático al-Kwarizmi. ( Diccionarios Oxford )

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EDITAR

@BillDubuque señaló que una respuesta correcta a la pregunta debería dar nombre a la siguiente regla: las igualdades se conservan "realizando una operación en ambos lados" (véanse los comentarios de este post).

En la terminología de Patrick Suppes, el nombre de esta regla puede ser Consecuencia de la norma que regula las identidades .

Regla que rige las identidades (RGI): Si $S$ es una fórmula abierta, de $S$ y $t_1=t_2$ o de $S$ y $t_2=t_1$ podemos deducir $T$ siempre que $T$ resultados de $S$ sustituyendo una o más apariciones de $t_1$ en $S$ por $t_2$ . Además, la identidad $t=t$ es derivable del conjunto vacío de premisas. ( Libro Suppes )

Observación 1: Dada una operación $f$ , dejemos que $S$ sea la fórmula $f(z)=f(z)$ . Entonces, por la RGI, $$x=y\quad\Longrightarrow\quad f(x)=f(y).$$ En otras palabras, "las igualdades se preservan realizando una operación en ambos lados".

Observación 2: La RGI también justifica las sustituciones generales en las igualdades. Por ejemplo, $x+y=2$ y $x=y+3$ implica $(y+3)+y=2$ (aquí, $S$ es la fórmula $x+y=2$ ). Para entender la palabra "general", véanse los comentarios en la respuesta de ASKASK.

Observación 3: Otros nombres (probablemente, los habituales) son Sustitución , Propiedad de sustitución y Sustitución por igualdad (ver otras respuestas y comentarios).

Answer 2

"Realizar la misma operación en ambos lados de una igualdad" se denomina la propiedad de sustitución .

"Realizar la misma operación en ambos lados de una desigualdad" no siempre es posible. Por ejemplo, sumar una constante está bien, pero multiplicar por uno no lo está si la constante es negativa.

Answer 3

Para Q1, yo diría que sí, que más o menos todo es una sustitución o una operación realizada en ambos lados. De hecho, yo diría que "una operación realizada en ambos lados" no es más que otra forma de sustitución.

Para el P2, cada vez que haces algo a ambos lados, simplemente estás aplicando alguna función a ambos lados. Por lo tanto, estás utilizando la propiedad: $$ x=y \implies f(x)=f(y)$$

Lo que debe ser cierto para todas las funciones (por la definición de función). Por ejemplo, si tiene $x^2=5$ y elevas al cuadrado ambos lados, sólo estás evaluando la función $f(x)=\sqrt{x}$ a los valores $x^2$ y $5$ que deben ser iguales. Por lo tanto, sólo tienes que sustituir los dos valores en la función y ver la nueva igualdad que tienes.

EDITAR sólo para aclarar: El ejemplo de aplicar la función raíz cuadrada a $x^2=5$ sólo es válida cuando se observa que $\sqrt{x^2}=|x|$ por lo que la igualdad que te queda es $|x|=\sqrt{5}$

Answer 4

En educación, el término equilibrando se utiliza para el proceso de "hacer lo mismo a ambos lados". Se puede hacer referencia al "método del equilibrio" para resolver ecuaciones, en contraste con los métodos de la máquina de funciones.

Hay un punto débil en esta terminología: si la ecuación ya estaba "equilibrada", puede decirse que no se está equilibrando, sino manteniendo el equilibrio que ya existía. Y si la ecuación no está equilibrada (es decir, expresa una falsedad), aplicar una función a ambos lados puede equilibrarla o no. No obstante, esta terminología está reconocida y se utiliza ( Enlace de ejemplo )

Answer 5

La propiedad clave aquí es bien definido . Una función está bien definida si su valor es independiente del nombre dado a su entrada. Por ejemplo, $f(x)=x^2$ está bien definido, por lo que $f(3)=f(2+1)$ porque $3=2+1$ . Esto nos lleva de $3=2+1$ a $3^2=(2+1)^2$ (es decir, elevar al cuadrado ambos lados).

Otro ejemplo, $g(x)=x+3$ está bien definido, por lo que $g(5)=g(4+1)$ que nos lleva desde $5=4+1$ a $5+3=4+1+3$ (es decir, añadiendo $3$ a ambos lados).

En general, cualquier función con la que trabajemos debe estar bien definida, es una propiedad "obligatoria" de las funciones. Cuando definimos una nueva función, tenemos que comprobar que efectivamente está bien definida. Por ejemplo, consideremos una función de clases de equivalencia módulo $n$ . Tiene que dar el mismo resultado independientemente del elemento de la clase de equivalencia que se elija.