¿Hay algún valor en el estudio de los divisores con coeficientes en un anillo R?

Question

Como regla general, los diversos grupos y coeficientes del divisor de grupo en una variedad coeficientes en $\mathbb{Z}$. Es decir, que tome $\mathbb{Z}$-de las combinaciones lineales de divisores de Weil o divisores de Cartier, y luego para la construcción de otros grupos de tomar cocientes.

Sin embargo, en algunos casos, las personas tensor con $\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$. Así que mi pregunta es:

Son estos los únicos anillos que usa la gente como coeficientes de divisores en una variedad?

Mi vaga intuición es que probablemente lo sea, porque $\mathbb{Z}$ es la inicial en anillos conmutativos con identidad, $\mathbb{Q}$ es un campo de característica cero, por lo que podemos usarlo para matar a la torsión, y $\mathbb{R}$ es completa, por lo que podemos garantizar que hay un $\mathbb{R}$-divisor, además de con orbifolds, racional coeficientes parecen aparecer de forma natural. Pero es esto? De manera más general, ¿qué acerca de los ciclos y cocycles? Hay una analogía con cohomology y el anillo de Chow, y nos hacen, a veces tomar cohomology con coeficientes en un anillo arbitrario o en algunos otros anillos finito (campos, por ejemplo, a la hora de estudiar cosas como nonorientable colectores), que es la razón por la que yo comencé a preguntar sobre esto.

Answer 1

Si desea ver el $\mathbb{Z}$valores de Cartier divisor (en el decir, una integral separados esquema X) como $\mathbb{G}\_m$-torsor en X con el genérico de la decadencia, entonces para cualquier toro T con carácter de grupo $X^\ast(T)$, $X^\ast(T)$valores de divisor de X es un T-torsor con el genérico de la trivialización. El análogo de la construcción de la obra para cualquier grupo de tipo multiplicativo, si se reemplaza el grupo de personajes con un adecuado fpqc gavilla de abelian grupos en la base. Esta muestra para X una curva en algunos tratamientos geométrico de campo de la clase de teoría, ya que el espacio de estos divisores es afín Grassmannian (en el sentido de Beilinson-Drinfeld) para T sobre el Ran espacio de X. Este espacio es utilizado en, por ejemplo, Gaitsgory Retorcido Whittaker modelo de papel, donde se forma una casa (junto con algunos objetos similares) para factorizable las poleas.

Si R es un número anillo, puede exigir que $X^\ast(T)$ ser una gavilla de R-módulos, por lo que en este caso, usted está buscando torsors bajo tori con CM, con el genérico como banalizaciones. No sé de dónde, o si este es utilizado, pero parece bastante interesante.

Answer 2

La respuesta a la pregunta es sí. Por ejemplo, si $\omega$ es un meromorphic 1-forma en una curva (liso y proyectiva, por ejemplo) sobre un campo $k$, entonces uno puede, naturalmente, forma un grado cero divisor con coeficientes en $k$, es decir, el residuo divisor de $\omega$.

Answer 3

Creo que podría haber diferentes definiciones de lo que es un divisor, pero si desea mantener la propiedad de que los divisores están conectados a la línea de paquetes, que se ven obligados a relacionarse con las combinaciones de subvariedades con coeficientes en $\mathbb Z$.

No hay nada impide considerar este grupo de tensored con $\mathbb Q$, $\mathbb R$ (como usted menciona) o $\mathbb F_q$ (Emerton del ejemplo), pero no conseguirá nada esencialmente nuevo por los diferentes coeficientes de aquí en contraste con el cohomology, donde en general $H^i(X, k) \ne H^i(X, \mathbb Z) \otimes k$.

Por lo tanto cohomology con los coeficientes en las poleas otros de $\mathbb Z$ aparece con más frecuencia que el grupo de divisores con coeficientes distintos de $\mathbb Z$, donde no presenta ningún fenómeno nuevo.

Answer 4

Creo que la línea de paquetes de más de gerbes tener una noción de divisor asociado donde los coeficientes no son enteros.