Demostrar que $f(x)=0$ todos los $x\in\mathbb{R}$

Question

El problema en el que actualmente estoy atascado es,

Deje $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ser una función continua tal que $f(m+n\sqrt{2})=0$ todos los $m,n\in\mathbb{Z}$. Demostrar que $f(x)=0$ todos los $x\in\mathbb{R}$.

He notado que para solucionar este problema, lo que necesito es mostrar que el conjunto de $\{m+n\sqrt{2}\mid m,n\in\mathbb{Z}\}$ es denso en $\mathbb{R}$ pero no puedo demostrarlo. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Sugerencia.

El aditivo subgrupos de $\mathbb R$ son densos o discreta.

Probar que si $$S=\{m+n\sqrt{2}\mid m,n\in\mathbb{Z}\}$$ is discrete then $\sqrt{2}$ sería racional que no es.

Por lo $S$ es densa y una función continua que se desvanece en un subconjunto denso es siempre de fuga.

Answer 2

Esto es suficiente para mostrar que podemos encontrar $0<n+m\sqrt 2<a$ por cada positivo delta.(con esto podemos demostrar que la densidad del conjunto, más o menos en la misma forma se demuestra que la densidad de $\mathbb Q$$\mathbb R$.

El resultado es true si cambiamos $\sqrt2$ para cualquier irracional $x$. Consideremos el conjunto a $\{xm\}|m\in\mathbb Z$, tenemos que demostrar que no tiene límite inferior $a$ mayor que $0$, supongamos que lo hizo. Este conjunto es infinito por lo que podemos encontrar $m,n$ tal que $0<\{xm\}-\{xn\}<a$. A continuación,$\{x(m-n)\}=\{xm\}-\{xn\}<a$. Una contradicción.

Answer 3

Sugerencia: tenga en cuenta que $\sqrt2-1=0.414\dots<1$. También tenga en cuenta que $(\sqrt2-1)^N$ es de la forma $m+n\sqrt2$ todos los $N$.

(Esto no generalizar así, digamos, $m+n\pi$ o otras cosas irracionales, lo cual es molesto.)