Problema
Demostrar que todas las raíces de $a x^4 + b x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ no puede ser real. Aquí $a,b \in \mathbb R$ y $a \neq 0$ .
Fuente
Este es uno de los problemas del año anterior de la Olimpiada Regional de Matemáticas (India). Tuve un tiempo difícil resolverlo, así que pensé que sería mejor preguntar aquí.
Observaciones
- Algunas raíces reales son posibles: cuando $a<0$ la ecuación tiene dos.
- Si se permitiera que un coeficiente más fuera arbitrario: $a x^4 + b x^3 + cx^2 + x + 1 = 0$ entonces las raíces podrían ser todas reales, ya que cada cuártico puede ser llevado a esa forma escalando
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Si $x=1$ no es una raíz se puede aplicar el teorema de Rolle a $f(x)(x-1)$ .
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Pero qué me va a dar eso.
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Pero, por favor, comparta algunas de sus ideas y explique un poco el contexto. ¿De dónde viene este problema?
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El teorema de Rolle implica que si una función diferenciable en cualquier lugar tiene $n$ ceros distintos, entonces su derivada tiene al menos $(n-1)$ ceros distintos.
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Es uno de los problemas del año anterior de RMO. Me costó resolverlo, así que pensé que sería mejor preguntarlo.
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¿No se puede resolver este problema con álgebra, ya que no domino mucho el cálculo?
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Ok. Así que es un viejo problema del concurso. Decir que era una ventaja para usted. También ayuda a todos a calibrar qué tipo de herramientas serán apreciadas/permitidas. En el futuro, no ocultes cosas como esta.
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Los problemas matemáticos de los concursos suelen utilizar herramientas "sorprendentes". O una combinación de herramientas. Estoy familiarizado con RMO, pero no me sorprendería en absoluto que una solución pueda requerir varias herramientas y algunos trucos :-)
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¿Cómo puede ser "falta de contexto u otros detalles" cuando se responde fácilmente? Consulta la respuesta de Elkies y mi comentario.
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@TitoPiezasIII: Creo que el contexto que falta es algún esfuerzo por parte de OP.
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¿Este problema es realmente de India RMO 2012? ¿Dónde puedo verlo?