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Todas las raíces de la ecuación cuártica $a x^4 + b x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ no puede ser real

Problema

Demostrar que todas las raíces de $a x^4 + b x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ no puede ser real. Aquí $a,b \in \mathbb R$ y $a \neq 0$ .

Fuente

Este es uno de los problemas del año anterior de la Olimpiada Regional de Matemáticas (India). Tuve un tiempo difícil resolverlo, así que pensé que sería mejor preguntar aquí.

Observaciones

  • Algunas raíces reales son posibles: cuando $a<0$ la ecuación tiene dos.
  • Si se permitiera que un coeficiente más fuera arbitrario: $a x^4 + b x^3 + cx^2 + x + 1 = 0$ entonces las raíces podrían ser todas reales, ya que cada cuártico puede ser llevado a esa forma escalando

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Si $x=1$ no es una raíz se puede aplicar el teorema de Rolle a $f(x)(x-1)$ .

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Pero qué me va a dar eso.

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Pero, por favor, comparta algunas de sus ideas y explique un poco el contexto. ¿De dónde viene este problema?

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Noam D. Elkies Puntos 17729

Sea $f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + bx + a$ . Entonces el cuártico $ax^4 + bx^3 + x^2 + x + 1$ es $x^4 f(1/x)$ y tiene cuatro raíces reales si $f$ lo hace. Pero lo mismo ocurre con $f(x-\frac14) = x^4 + \frac58 x^2 + Bx + A$ para algunos $B$ y $A$ (no necesitamos la fórmula). Si esto es $(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)$ para algunos $a,b,c,d$ entonces $a^2+b^2+c^2+d^2 = -2\frac58 < 0$ Así que $a,b,c,d$ no pueden ser todos reales, QED .

5 votos

¿Puedo añadir algo? :) En general, si $f(x) = x^4+px^3+qx^2+rx+s=0$ entonces la suma del cuadrado de las raíces $x_i$ es $S(p,q)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2 = p^2-2q$ . Por lo tanto $S(1,1)=-1$ . Dado que la suma del cuadrado de los números reales no puede ser negativa, esto implica que no todos los $x_i$ son reales.

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Noam, me gustaría preguntarte cómo elegiste f(x). Es un procedimiento establecido para este tipo de problemas o lo elegiste al azar.

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@user2369284 Ver Polinomio recíproco .

7voto

Noam D. Elkies Puntos 17729

Sea $f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + bx + a$ . Entonces el cuártico $ax^4 + bx^3 + x^2 + x + 1$ es $x^4 f(1/x)$ y tiene cuatro raíces reales si $f$ lo hace. Pero $f''(x) = 12x^2 + 6x + 2 > 0$ para todos $x$ . Por lo tanto $f$ es convexa hacia arriba y, por tanto, puede tener como máximo dos raíces reales, QED .

5voto

Supongamos, por el contrario, que $f(x)=ax^4+bx^3+x^2+x+1$ tiene 4 ceros reales distintos para alguna elección de $a,b$ . Entonces $$ g(x)=f(x)(x-1)=ax^5+(b-a)x^4+(1-b)x^3-1 $$ tiene cinco ceros distintos o un doble cero en $x=1$ junto con otros tres ceros.

Pero $$ g'(x)=5ax^4+4(b-a)x^3+3(1-b)x^2 $$ tiene un doble cero en $x=0$ y como máximo otros dos ceros.

El teorema de Rolle nos dice que la derivada de una función diferenciable tiene un cero entre dos ceros cualesquiera. Esto descarta la posibilidad de que $g(x)$ con cinco ceros distintos.

La posibilidad restante es que $g(x)$ tiene un doble cero en $x=1$ y otros tres ceros. Esto significa que $x=1$ es uno de los ceros de $g'(x)$ así que por el teorema de Rolle $g'(x)$ debe tener tres ceros diferentes de $x=1$ . Hemos visto que esto no puede ser así, por lo que hemos llegado a una contradicción.


¿Cómo ver esto? La parte fija de los tres términos de menor grado del polinomio $f(x)$ se sabe que es un factor de $x^3-1$ . Sin nada más en lo que basarme, decidí comprobar a dónde nos lleva el uso de ese bit.

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Necesitaba Rolle aquí, lo siento :-(

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También puede ser una posibilidad que $g(x)$ tiene doble cero en cualquier otro lugar que no sea 1. Además, esto sólo descarta que pueda haber 4 raíces reales "distintas", no 4 raíces reales

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@usuario2369284: Hoy he tenido motivos para volver a plantearme esta cuestión. Ahora veo tu objeción, con algo de retraso. Lo siento mucho. El argumento se vuelve más lioso en esos casos. Por ejemplo, si $f$ tenía ceros reales $x_0<x_1<x_2<1$ de los cuales $x_1$ es una raíz doble, entonces $g'(x)$ debe tener un cero en $x_1$ y otros ceros en los intervalos abiertos $(x_0,x_1)$ , $(x_1,x_2)$ y $(x_2,1)$ lo que de nuevo es una contradicción. No he comprobado todas las posibilidades, pero me parece que siempre nos encontramos con una contradicción con Rolle.

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