Si usted quiere generalizar un potencial para una clase más amplia que la simple $\frac12 k_2 x^2$, es tentador como un primer paso para incluir una pequeña perturbación de la forma $\frac13k_3x^3$. Por desgracia, este drásticamente los cambios de la estructura de la potencial, porque se convierte en ilimitado desde abajo.
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Por lo tanto, usted puede conseguir un poco perturbado el comportamiento de un oscilador armónico a bajas amplitudes, pero si la unidad es lo suficientemente duro, el sistema va a cruzar algunos colina y luego huyen. Este comportamiento no es lo que uno está tratando de modelo, que es el de ida y vuelta de movimiento sobre un potencial mínimo. De hecho, es posible (o no veo por qué no) para hacer un correcto análisis de este caso en el límite de lo suficientemente pequeñas oscilaciones que el sistema nunca ve la colina, mientras que la oscilación armónica es todavía perturbado. Sin embargo, la existencia de la colina y su otro lado hace que la solución general es muy complicado y muy diferente a lo que realmente quieres.
Para un potencial real, por supuesto, habrá un plazo de $x^4$ que se activa en forma antes de que el sistema ve a la colina. Por lo tanto, después de que el oscilador armónico, la próxima clase de modelos que realmente captura el tipo de ida y vuelta comportamiento que uno está tratando de modelo, para todas las amplitudes y la conducción de las fuerzas, es de la forma
$$V(x)=\frac12 k_2 x^2+\frac13 k_3 x^3+\frac14 k_4 x^4.$$
Ello se logra en la fijación de los problemas con un puro, $x^3$ de la perturbación, pero en la solución de los problemas a los que nos han hecho el modelo un poco más complicado de lo que realmente estábamos esperando.
(Por ejemplo, ahora tenemos dos dimensiones constantes, las longitudes $k_2/k_3$$k_3/k_4$, en lugar de sólo uno, y la interacción entre esos dos influyen en el comportamiento. Por ejemplo, si $k_3^2>\frac92k_2k_4$ el potencial se desarrolla una segunda caída, que realmente no desea).
Por lo tanto, creo que la clasificación útil es
El potencial de Duffing, $V(x)=\frac12 k_2 x^2+\frac14 k_4 x^4$, es el más simple potencial que generaliza el oscilador armónico a la anarmónicos caso, evitando la huída de soluciones para todas las posiciones de partida.
Dicho esto, si usted comienza a generalizar este modelo, el primer paso debería ser para poner el cúbicos término de la espalda. Incluso entonces, el requisito de que $k_3^2$ estar delimitado por $k_4$ significa que el cúbicos término debe ser una perturbación en la parte superior de la cuártica de comportamiento, en lugar de al revés.
Hay una razón física por qué extraño-el fin de las perturbaciones a los potenciales no son muy comunes, y es debido a que el tipo de simetría - o falta de ella - de su sistema. En concreto, incluso en términos de pedido en el potencial son simétricas alrededor del punto de equilibrio, pero incluyendo los de número impar de términos de orden para un desequilibrado potencial que no es simétrica.
Para todos los sistemas oscilantes, si la unidad lo suficientemente ellos se convertirá en anarmónicos. Sin embargo, por extraño-el fin de no linealidades para entrar en juego, el sistema necesita ser asimétrica, y que no necesita ser el caso. De hecho, dependiendo de la configuración, puede ser muy duro para crear un sistema asimétrico suficiente para los efectos de ser perceptible.
Un buen ejemplo de esto es en la óptica no lineal, donde la perturbación relevante de la expansión es el de la polarización de la respuesta a la conducción de campo eléctrico:
$$P=\chi E+\chi^{(2)}E^2+\chi^{(3)}E^3+\cdots,$$
ignorando el vector/tensor carácter de estas cantidades. Generalmente requiere bastante altas intensidades de la unidad de materiales en aquellos regímenes, por lo que el uso de $\chi^{(2)}$ falta de linealidad parece mucho mejor que el uso de $\chi^{(3)}$. Sin embargo, para la mayoría de los materiales, el $\chi^{(2)}$ susceptibilidad es cero debido a la simetría consideraciones: el medio debe ser asimétrica en la escala de unos pocos átomos. Esto es posible, por ejemplo, en no centrosimétrico cristales, pero sin un material que no puede hacer ninguna de las tres ondas proceso de mezcla, lo que descarta la generación de segundo armónico, de la suma y diferencia de frecuencia de generación, óptico paramétrico de amplificación, y un anfitrión de otros kit de herramientas esenciales.
Así, la línea de fondo en esto es: la simetría de su sistema asuntos. Sólo se puede obtener impar-el fin de las perturbaciones a la potencial, si su sistema es asimétrica. Incluso los pedidos, por otro lado, se obtiene gratis, simplemente, la conducción es bastante difícil.
En cuanto a la última parte de su pregunta, "mezclar" tiene un significado específico en este contexto. Si usted tiene un armónico de conducción que también está siendo impulsada armónicamente,
$$m\ddot x+m\gamma\dot x+m\omega_0^2 x=F\cos(\omega t),$$
a continuación, la solución también oscila a la frecuencia de conducción $\omega$, con la posibilidad de un retraso de fase que no es realmente importante.
Sin embargo, cuando se incluye una cúbicos o cuártica plazo perturbativa, el primer paso es tratar a los términos como las fuerzas externas con la posición dada por el imperturbable solución, decir $x(t)=x_0\sin(\omega t)$. Esto significa que usted tiene un sistema armónico que tiene un adicional de conducción de la forma
$$k_3 x_0^3 \sin^3(\omega t)\quad\text{or}\quad k_4 x_0^4 \sin^4(\omega t).$$
Estos son difíciles de tratar en forma específica, pero se vuelven un poco más fácil de manejar si usted usa la adecuada identidades trigonométricas para reducirlos a un número finito suma de armónicos drivings. Por lo tanto, las fuerzas de arriba para reducir
$$
\begin{cases}
k_3 x_0^3 \sin^3(\omega t) = \frac{3\sin(\omega t)-\sin(3\omega t)}{4}\\
k_4 x_0^4 \sin^4(\omega t)=\frac{3-4\cos(2\omega t)+\cos(4\omega t)}{8}.
\end{casos}
$$
Este es entonces un armónico de conducción en un sistema armónico, y que podemos resolver. (Es sólo el primer término de una serie de perturbaciones, pero esa es otra historia.) La mezcla de leer sobre el hecho de que la solución final contendrá términos que oscila a la frecuencia original, pero también pueden contener otros armónicos.
Como se puede ver en la anterior, incluso armónicos conducir a un DC perturbación además de una $2\omega$ de la contribución. También habrá condiciones adicionales en armónicos superiores, pero esos son normalmente más difícil de detectar. Un extraño poder de perturbación, por otro lado, el resultado será sólo en armónicos impares, incluyendo un componente a la frecuencia de conducción ("frecuencia de operación de la banda").
En términos de la dependencia del tiempo de la solución de $x(t)$, esto probablemente no es que importante. Sin embargo, hay grandes clases de sistemas que son más fáciles de interactuar con la frecuencia de dominio y, a continuación, estos armónicos son la mejor forma física de entender las soluciones. Por ejemplo, si usted está conduciendo un poco no lineal eléctrico oscilador, usted está probablemente haciendo a RF o microondas, y entonces es muy fácil para el estudio de la salida del sistema a través de la transformada de Fourier de la capacidad de un osciloscopio. Una vez que estás allí, detección de picos en $2\omega$ o $3\omega$ puede ser relativamente fácil, y habla directamente con el tipo de no linealidad que está presente en el sistema.
