Hay diversas caracterizaciones del círculo. Para ser precisos, no existe el círculo. Hay varias categorías que contienen un objeto que nos referimos como "el círculo". En $\mathsf{Top}$ el círculo es el único $1$-dimensiones cerrado conectado el colector. En $\mathsf{Grp}$ el círculo de grupo es el único divisible abelian grupo cuya cardinalidad es el proceso continuo y cuya torsión subgrupo es $\cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$; en particular, que no es canónicamente isomorfo a $\mathbb{C}^{\times}$, que por supuesto no sucede en $\mathsf{TopGrp}$. Ahora, ¿qué acerca de la $\mathsf{Met}$, la categoría de métrica espacios con un adecuado clase de morfismos diferentes de continuo o equicontinuous mapas? Hay varias opciones, por ejemplo isometrías, corto mapas, mapas de Lipschitz. ¿El círculo unidad, dotada de la "obvia" métrica (por ejemplo, la distancia entre el$(1,0)$$(-1,0)$$\pi$), tienen una sucinta caracterización (hasta el isomorfismo, es decir, isometría) en una de estas categorías de métricas espacios? Por ejemplo, la curvatura es $1$, pero me sabe casi nada acerca de la geometría métrica a decir más.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como parece ser mi costumbre, voy a decir un montón de cosas aquí, cuyos detalles no he comprobado. Utilice a su propio riesgo :).
Dado un espacio métrico $(X,d)$, hay una geodésica remetrization $(X,d_G)$, equipado con un bijective breve mapa de $(X,d_G) \to (X,d)$. La geodésica métrica es dada por
$d_G(p,q) = \sup_{\epsilon>0} \inf_{\{p = p_0,p_1,\dots,p_n=q \,\mid\, d(p_i,p_{i+1})<\epsilon\}} \sum_i d(p_i,p_{i+1})$
Geodésica remetrization es un idempotente procedimiento, por lo que decir que $(X,d)$ es una geodésica espacio métrico si $d = d_G$. La idea es que el $d_G(p,q)$ puede ser aproximada por la suma de distancias a lo largo de un "camino" de$p$$q$, donde los "pasos" de la ruta son arbitrariamente pequeño. Por ejemplo, un colector con una métrica de Riemann es geodésico.
El círculo unitario es la única geodésica métricas en (el espacio topológico) $S^1$ con diámetro de $\pi$.
(Aquí el diámetro de un espacio métrico es la distancia máxima entre dos puntos). La razón es que si una métrica en un 1 dimensiones del colector es geodésicos, entonces se puede parametrizar cada componente del colector por longitud de arco, lo que configura una isometría a un intervalo de la recta real, o de una dilatación del círculo unitario.
Debe haber algo más de descripción conceptual de donde la línea geodésica remetrization "viene de". Lawvere alude a algunos de esos descripción en el penúltimo párrafo de la introducción aquí. Yo estaba pensando que podría ser el comonad inducida por la obvia contigüidad entre el $\mathcal V$-categorías y $\mathcal V$-gráficos al $\mathcal V = \mathbb R_{\geq 0}$. Pero en otro pensamiento, creo que esto termina siendo la identidad comonad. Todavía estoy encariñado con la idea de que se trata de algún tipo de densidad comonad para la inclusión de la categoría de libre métrica espacios.
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En realidad, creo que Lawvere está diciendo que geodésica re-metrization es la densidad comonad asociados a la subcategoría plena de la métrica de los espacios dados por los intervalos. Si es así, entonces creo que su concepto de geodésica re-metrization es más restrictiva que la mía: su geodésica métrica será dada por
$d^{\mathrm{Lawvere}}_G(p,q) = \inf_{\{ \gamma: [0,a] \to X \,\mid\, \gamma(0)=p,\gamma(a) = q\}} a$
(donde las rutas $\gamma$ están obligados a ser a corto mapas), pero deben estar de acuerdo cuando nos restringir la atención a la métrica de los espacios que son localmente trayectoria-conectado, o algo así. Creo que mi definición de la línea geodésica métrica está de acuerdo en compacto métrica espacios con la densidad comonad para densa subconjuntos de los reales intervalos.
