Pares enteros ordenados (x,y) que satisfacen $x^2 - y! = N$

Question

Esta pregunta surgió al examinar una pregunta similar que tiene $N = 2001, 2013$ . En ella, mi solución era que como tenemos un primo $p$ (en este caso 3) que divide $N$ pero $p^2$ no lo hace, por lo que sólo tenemos que considerar los casos finitos en los que $y < 2p$ .

Este argumento se extiende fácilmente a los casos en los que $N$ tiene una potencia prima con exponente impar, lo que deja los casos en los que $N$ es un cuadrado perfecto. No sé cómo enfocar este caso, ¿alguien sabe cómo resolver

$$x^2 -n^2 = y!?$$

¿Existe un número finito de soluciones para cada $n$ ?

Nota: Creo que los argumentos por residuos cuadráticos no funcionarían.

Answer 1

Incluso para $n=1,$ que se llama el problema de Brocard, es una cuestión abierta si esta ecuación tiene finitamente muchas soluciones. Existe una extensa literatura dedicada a ecuaciones del tipo $P(x)=m!.$ Le recomiendo que consulte el artículo de Berend y Armes

donde tratan algunos casos especiales importantes.