¿Cómo puedo encontrar a $\frac{\text{d}}{\text{d}z}\left(z\bar{z}\right)$?

Question

Estoy buscando a $\frac{\text{d}}{\text{d}z}\left(z\bar{z}\right)$ donde $f(z)=z\bar{z}.$

Y sé que tengo que utilizar la siguiente definición de la derivada: $$f'(z)=\lim_{\Delta z\to 0}{\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}}.$$ Sin embargo, no estoy seguro de si estoy usando la definición correctamente al enchufe $f(z)$: \begin{align*} f'(z)&=\lim_{\Delta z\to 0}{\frac{(z+\Delta z)(\overline{z+\Delta z})-z\bar{z}}{\Delta z}}\\&=\lim_{\Delta z\to 0}{\frac{\overline{\Delta z}(z+\Delta z)+\bar{z}\Delta z}{\Delta z}}\\&=\lim_{\Delta z\to 0}{\frac{\overline{\Delta z}(z+\Delta z)}{\Delta z}}+\lim_{\Delta z\to 0}{\frac{\bar{z}\Delta z}{\Delta z}}\\&=\lim_{\Delta z\to 0}{\frac{\overline{\Delta z}(z+\Delta z)}{\Delta z}}+\bar{z} \end{align*} Suponiendo que yo he maniobrado el límite anterior correctamente, no estoy seguro de cómo continuar a partir de la última línea...

Answer 1

En primer lugar, sabemos que el cociente de dos funciones diferenciables es una nueva función derivable, asumiendo la función en el denominador no sea 0. Por lo tanto, si $z \bar{z}$ fueron diferenciable en cualquier punto de $z = 0$, ya que el $z$ es claramente diferenciable en todas partes, tendríamos que

$$\frac{z \bar{z}}{z} = \bar{z}$$

es diferenciable en el mismo punto. Pero, es bien sabido que $\bar{z}$ no es diferenciable en cualquier lugar. (Véase el Ejemplo 3.2 aquí.) Por lo tanto, la derivada usted está tratando de calcular no puede existir, excepto, posiblemente, al $z = 0$. En ese caso específico, la derivada está dada por

$$\lim_{z \to 0} \frac{z\bar{z} - 0}{z - 0} = \lim_{z \to 0} \bar{z} = 0$$

desde $\bar{z}$ es una función continua. Así, vemos que la derivada no existe al $z = 0$. Pero, no existe en ninguna otra parte.

Answer 2

Lo que estaba tratando de hacer está bien. El problema es que su función de $f(z) = z \bar{z}$ no es complejo diferenciable, excepto cuando se $z = 0$. Por lo tanto el límite que usted está tratando de calcular sólo existirá cuando $z = 0$ y es por eso que te has pegado.

Una forma "fácil" de ver que su función es sólo el complejo diferenciable en a $0$ es el uso de los operadores diferenciales parciales (aka Wirtinger derivados)

$$\frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right ) \quad \frac{\partial}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2} \left ( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right )$$

El uso de estos operadores, en función de la $f(z)$ es complejo diferenciable si y sólo si $\dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0$ (tenga en cuenta que esto es sólo otra forma de codificación de la de Cauchy Riemann ecuaciones en estos operadores). En nuestro caso, con el hecho de que el Wirtinger derivados de satisfacer el producto de la regla obtenemos

$$\frac{\partial{f}}{\partial \bar{z}} = \frac{\partial{(z\bar{z})}}{\partial \bar{z}} = \frac{\partial z}{\partial \bar{z}} \cdot \bar{z} + z \cdot \frac{\partial{\bar{z}}}{\partial \bar{z}} = 0\cdot \bar{z} + z \cdot 1 = z$$

Así vemos que $\dfrac{\partial{f}}{\partial \bar{z}} = 0 \iff z = 0$, lo que significa que $f$ es complejo diferenciable sólo en $z = 0$.

Estos operadores diferenciales son muy útiles cuando usted está tratando con funciones polinómicas en $z$ $\bar{z}$ y quiere ver si su función es compleja derivable o no.

Answer 3

Como Graphth dice, es cierto que $z\overline z$ está en ninguna parte analítica, por lo que la derivada no está bien definido si se intenta calcular como un límite.

Sin embargo, podemos definir un operador diferencial $\frac{d}{dz} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} - i\frac{\partial}{\partial y}\right)$. Este operador coincide con la costumbre de derivados complejos en el espacio de holomorphic funciones (por qué?), y que nos puede permitir hacer sentido de la derivada de las funciones que de otra manera no ser diferenciable. En su caso, $f(z)=z\overline z = x^2+y^2$, y un sencillo cálculo muestra que $\frac{df}{dz} = x-iy=\overline z$.