Si un campo $F$ es una expresión algebraica de la extensión de un campo de $K$ $(F:K)=(F(x):K(x))$

Question

Supongamos $K$ es un campo y $F$ es una extensión algebraica de algún grado $n=(F:K)$. Se afirma que el campo de funciones racionales $F(x)$ es de hecho una expresión algebraica de la extensión del campo de $K(x)$ y, además,$(F(x):K(x))=n$.

¿Cómo me acerco a este ejercicio? Soy nuevo en esta zona por lo que cualquier ayuda sería muy apreciada!

Answer 1

Deje $a_1,a_2,\dots,a_n$ ser una base para $F$$K$. Primero vamos a demostrar que son linealmente independientes como elementos de $F(x)$$K(x)$. Así que asumir $$ \sum_{i=1}^n a_i\frac{f_i(x)}{g(x)}=0 $$ donde $f_1,\dots,f_n,g\in K[x]$ (no es restrictivo suponer los denominadores son iguales). Esto implica $$ \sum_{i=1}^n a_if_i(x)=0 $$ Si tenemos $f_i(x)=\sum_{j=0}^k b_{ij}x^j$, podemos deducir $$ \sum_{i=1}^n a_ib_{ij}=0,\quad j=0,1,\dots,k $$ así que todos los polinomios se $0$.

Ahora la tarea es mostrar que $F(x)=K(x)[a_1,a_2,\dots,a_n]$ y podemos reducir esto a mostrar que, si $a$ es algebraico sobre $K$, luego $$ K[a](x)=K(x)[a] $$ Una inclusión es obvio, a saber,$K(x)[a]\subseteq K[a](x)$. Con el fin de mostrar a la inversa inclusión sólo tenemos que probar que si $f(x)\in K[a](x)$,$f(x)\in K(x)[a]$, porque el último es un campo. Esto es trivial, por considerar polinomios de la forma $cx^m$ donde $c\in K[a]$. Simplemente escriba $c=d_0+d_1a+\dots+d_ra^r$ donde $r+1$ es el grado de $a$ $K$ y, a continuación,$cx^m=\sum_{j=0}^r a^j(d_jx^m)\in K(x)[a]$.