Subespacios de $L^p$

Question

Estudiando los problemas del Examen de Calificación en Análisis me encontré con este:

Para $1\lt r \lt p \lt s \lt \infty$ donde $\mu$ denota la medida de Lebesgue,

a) Construir un subespacio de $L^p([0,1],\mu)$ tal que $ \forall r$ el subespacio es denso en $L^r([0,1],\mu)$ pero no $L^p$ .

b) Construir un subespacio de $L^\infty([0,1,\mu)$ tal que $ \forall s$ el subespacio es denso en $L^p$ pero no $L^s$ .

Ahora $L^s\subset L^p \subset L^r$ desde $\mu([0,1])\lt\infty$ La cuestión es reconocer que las normas no son equivalentes para que esto sea posible. No estoy muy familiarizado con los subespacios de $L^p$ para $p\neq2$ . ¿Es sólo una cuestión de conocer mejor $L^p$ espacios o hay algo más grande que me estoy perdiendo?

Answer 1

He aquí un dato útil: si $X$ es un espacio normado y $\ell$ es una función lineal no nula en $X$ entonces el núcleo de $\ell$ es denso en $X$ si $f$ no es continua.

Aquí hay otro hecho útil: dado $\frac{1}{p'} + \frac{1}{q'} = 1$ tenemos $$\|f\|_{p'} = \sup\left\{ \int fg : g \in L^\infty, \|g\|_{q'} = 1 \right\}.$$ (Utiliza el hecho de que $(L^{q'})^* = L^{p'}$ y el hecho de que $L^\infty$ es denso en $L^{q'}$ .)

Ahora dejemos que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1$ y elija $f \in L^q$ para que $f \notin L^{q'}$ para todos $q' > q$ . (Considere una función de la forma $f(x) = x^a (\log x)^b$ .) Ahora, establece $$E := \left\{ g \in L^\infty : \int fg = 0 \right\}.$$ Para $r < p$ , dejemos que $t>q$ sea el exponente conjugado de $r$ . Desde $f \notin L^t$ la función lineal $g \mapsto \int fg$ no es continua en $(L^r \cap L^\infty, \|\cdot\|_r)$ . Por lo tanto, $E$ es denso en $(L^r \cap L^\infty, \|\cdot\|_r)$ . Desde $L^r \cap L^\infty$ es denso en $(L^r, \|\cdot\|_r)$ tenemos que $E$ es denso en $(L^r, \|\cdot\|_r)$ .

Por otra parte, dado que $g \mapsto \int fg$ es continua en $(L^p, \|\cdot\|_p)$ su núcleo es cerrado. $E$ está contenida en ese núcleo y, por tanto, no es densa.

Puedes utilizar un enfoque similar para la parte (b), construyendo una función $f$ con $f \in L^r$ para todos $r < p$ pero $f \notin L^p$ .

Answer 2

Se puede utilizar el siguiente resultado, conocido como teorema de Müntz Szasz, para el que se puede encontrar una demostración aquí .

Si $p\geqslant 1$ y $\lambda_n$ es una secuencia de números reales distintos mayores que $-\frac 1p$ entonces $\operatorname{Span}\{x^{\lambda_n},n\in\mathbb N\}$ es denso en $L^p$ si y sólo si $$ \sum_{n=0}^\infty\frac{\lambda_n+\frac 1p}{1+\left(\lambda_n+\frac 1p\right)^2}=+\infty.$$

Se puede elegir $\lambda_n:=\frac 1{n^2}-\frac 1p$ para la primera pregunta, e ideas similares para la segunda.