$x \otimes y - y \otimes x \neq 0$ en $I \otimes_{R} I$

Question

Dejemos que $R = k[x,y]$ , $I = (x,y)$ , $k$ es un campo.

Quiero demostrar que :

1) $x \otimes y - y \otimes x \neq 0 $ en $I \otimes_{R} I$

2) $x \otimes y - y \otimes x $ es un elemento de torsión

Mis pensamientos: para demostrar que $x \otimes y - y \otimes x \neq 0 $ en $I \otimes_{R} I$ probablemente debería encontrar un mapa bilineal $$\phi : I \times I \to R$$ tal que $\phi(x,y) \neq \phi (y,x)$ Pero, ¿cuál?

Answer 1

Supongamos que $k$ es un anillo conmutativo, ponga $t:=x\otimes y-y\otimes x$ e identificar $k$ a $R/I$ .

1) Utilizando el $R$ -mapa bilineal $$ I\times I\to k,\qquad(f,g)\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\ \frac{\partial g}{\partial y}(0,0), $$ es fácil ver que $t$ es distinto de cero.

2) Tenemos $xyt=0$ .

Answer 2

Dejemos que $\phi: I\times I\rightarrow R/I$ para ser la extensión del producto de $f:I\rightarrow R/I$ y $g: I\rightarrow R/I$ . Aquí $f,g$ están dados por la extensión de $$ f(x)\rightarrow 0, f(y)\rightarrow 1, f(1)\rightarrow 1; g(x)\rightarrow 1, g(y)\rightarrow 0, g(1)\rightarrow 1 $$ a todos los elementos de $I$ . Entonces tenemos $$ \phi(x\otimes y)=f(x)g(y)=0, \phi(y\otimes x)=1 $$ Así que $x\otimes y\not=y\otimes x$ .

(Gracias Watson por la actualización)