Relación entre las filas y columnas de una matriz

Question

Tengo problemas para entender la relación entre las filas y columnas de una matriz.

Digamos que el siguiente sistema homogéneo tiene una solución no trivial. $$ 3x_1 + 5x_2 − 4x_3 = 0 \\ −3x_1 − 2x_2 + 4x_3 = 0 \\ 6x_1 + x_2 − 8x_3 = 0 \\ $$ Dejemos que A sea la matriz de coeficientes y que la fila se reduzca $ \begin {bmatrix} A & \mathbf 0 \end {bmatrix}$ a la forma de la fila deechelon:

$ \begin {bmatrix}3&5&-4&0 \\ -3&-2&4&0 \\6 &1&-8&0 \\ \end {bmatrix} \rightarrow \begin {bmatrix}3&5&-4&0 \\0 &3&0&0 \\0 &0&0&0 \\ \end {bmatrix}$

$ \quad a1 \quad a2 \quad \,a3$

Aquí, vemos $x_3$ es una variable libre y por lo tanto podemos decir que la tercera columna, $\,a_3$ está en $ \text {span}(a_1, a_2)$

¿Pero qué significa para una forma de escalón de una matriz tener una fila de $0$ 's?

¿Eso significa que la 3ª fila puede ser generada por la 1ª y 2ª filas?

al igual que la 3ª columna puede ser generada por la 1ª y 2ª columnas?

Y esto me plantea otra pregunta, ¿por qué nos centramos principalmente en las columnas de una matriz?

porque tengo la impresión de que, para los vectores y otros conceptos, nuestra única preocupación es

si las columnas se extienden $ \mathbb R^n$ o las columnas son linealmente independientes y así sucesivamente.

Pensé que el álgebra lineal se trata de resolver un sistema de ecuaciones lineales,

y las ecuaciones lineales son filas de una matriz, por lo que creo que sería lógico centrarse más en las filas que en las columnas. ¿Pero por qué?

Answer 1

Excelente pregunta.

En cierto sentido, las ecuaciones y las variables representan información equivalente. A veces es más fácil abordar el problema desde el punto de vista de las filas-ecuaciones-restricciones, y a veces - desde el punto de vista de las variables.

Esto está muy relacionado con la noción de problema dual en la programación lineal. Eso es exactamente lo que convierte las ecuaciones/restricciones en filas y viceversa, mirando un problema diferente.

Matemáticamente, esto se reduce a trabajar con la matriz $A$ o con alguna forma de $A^T$ que convierte las filas en columnas y las columnas en filas. No es de extrañar que las principales propiedades características de $A$ y $A^T$ son los mismos, como el rango, los valores propios/singulares, el determinante, la traza, etc.

Dos enlaces de referencia sobre la dualidad:

1. Artículo de Wikipedia sobre la dualidad
2. Notas del MIT sobre la dualidad en la programación lineal

Answer 2

Tener una fila de $0$ en la forma fila-echelón significa que pudimos escribir la tercera fila de $A$ como una combinación lineal de la segunda y la primera fila. Como ocurre con las matrices cuadradas, esto es cierto precisamente cuando podemos escribir las columnas como una combinación lineal entre sí (es decir, cuando las columnas no son linealmente independientes). Si reducimos esto a la forma reducida fila-echelón, obtenemos $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & -4/3 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ Porque la tercera fila carece de pivote, $x_3$ es nuestra variable libre, lo que significa que podemos escribir $a_3$ como una combinación lineal de las otras dos columnas.

Hay una muy buena razón para centrarse en las columnas de una matriz. Esto se debe a la utilización de $A$ como una transformación lineal, donde el "espacio de columnas" nos da el "rango" de la función $f(\vec x) = A \vec x$ .

Answer 3

Claramente, tu matriz es singular, es decir, su determinante es cero. Cuando estudiamos el sistema lineal $Ax=b$ tenemos dos opciones: o bien existe un espacio afín de soluciones ( $b\in Im A$ ) o no hay ninguna solución.

Cuando se estudia la forma del ecolon, se llega a la línea de la forma $\begin{pmatrix}0&0&0&a\end{pmatrix}$ . Si $a\ne 0$ , entonces el sistema es incompatible (la combinación nula de variables produce un valor distinto de cero). Si $a=0$ , entonces se tiene un subespacio afín de soluciones.