A menudo me desconciertan las distintas definiciones que se dan a " límites semiclásicos " en el contexto de la mecánica cuántica, es decir, límites que acaban convirtiendo la mecánica cuántica en mecánica clásica.
A mano alzada
- El límite clásico o semiclásico corresponde al límite de tomar $\hbar \to 0.$
- A menudo, cuando se habla de la principio de correspondencia el límite semiclásico se obtiene en el límite de grandes números cuánticos (grandes órbitas y energías).
Más concretamente
- Fuente ejemplar de confusión: Una forma de demostrar por qué $\hbar \to 0$ describe un límite clásico, es la siguiente:
Toma el $1D$ Ecuación de Schrödinger para una partícula de masa $m$ en un potencial $V(\vec x)$ :
\begin{equation} i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(\vec x,t) = \left[-\frac{-\hbar^2}{2m}\vec \nabla^2+V(\vec x)\right]\psi(\vec x,t) \end{equation}
Insertando $\psi(\vec x,t)=e^{iS(\vec x,t)/\hbar}$ en la ecuación de Schrödinger anterior, y simplificando para $\psi$ obtenemos:
$$ -\frac{\partial S}{\partial t}=\frac{1}{2m}(\vec\nabla S)^2-\frac{i\hbar}{2m}(\vec \nabla^2S)+V $$ Ahora tomando $\hbar \to 0$ lo anterior se convierte en la clásica y bien conocida Ecuación de Hamilton-Jacobi donde $S$ describe la función principal de Hamilton o la acción:
$$ -\frac{\partial S}{\partial t}=\frac{1}{2m}(\vec\nabla S)^2+V $$ Usando tal resultado, entonces podemos usar un $\hbar$ ampliación de $S$ en la segunda ecuación. Por desgracia, no veo por qué alcanzar la ecuación de Hamilton-Jacobi implica necesariamente un comportamiento clásico.
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Alternativamente se habla de límites clásicos de la QM diciendo: Cuando el cuanto de Planck $\hbar$ se hace muy pequeña en comparación con los valores de la integral de acción lagrangiana ( El formalismo de la integral de trayectoria de Feynman ). Probablemente no debería preguntar esto (ya que la discusión es bastante vaga aquí), pero ¿hay alguna forma clara de demostrar matemáticamente la idea anterior? (por ejemplo, mostrando si tal límite conduce necesariamente a la decoherencia cuántica y, por tanto, las trayectorias clásicas se vuelven dominantes).
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Por último, las dos declaraciones de $\hbar \to 0$ y tomar el límite de números cuánticos altos de alguna manera equivalente? (es decir, ¿una reformulación de la otra?)
Por supuesto, cualquier otra forma (ya sea física o matemática) de pensar y entender los límites semiclásicos de la mecánica cuántica también es bienvenida como respuesta.
