Ideal como un módulo proyectivo

Question

Lo siento, esto puede no ser una buena pregunta aquí. Estoy buscando una buena referencia acerca de cuando el ideal $I$ de un anillo conmutativo $R$ (local o no local) con la identidad es un módulo proyectivo.

Answer 1

Aquí están algunos de los resultados parciales si usted fortalecer las hipótesis sobre el anillo:

Definición: Dejar $R$ ser un dominio, $Q=\operatorname{Frac}(R)$. Ideal $I$ es invertible si existen elementos de $a_1,\dots,a_n\in I$ $q_1,\dots,q_n \in Q$ tal que $q_iI\subset R$ todos los $i$, e $1=\sum_{i=1}^n q_ia_i$.

Teorema: Si $R$ es un dominio, un ideal distinto de cero $I$ es proyectiva iff es invertible.

Si nos movemos de dominios a UFD, entonces:

Teorema: Si $R$ es un disco flash usb, a continuación, un ideal distinto de cero $I$ es proyectiva, el fib es el director.

Una referencia para los anteriores teoremas es Rotman "Una Introducción al Álgebra Homológica", 2da. edición, pp 167-168.

Answer 2

Para los anillos en general (con identidad), el anillo se llama derecho hereditario si todos los derechos son los ideales proyectiva, y a la derecha semihereditary si todos finitely generado derecho ideales son proyectivos. Hay un montón de otras interesantes de las equivalencias y las propiedades que estos anillos, que se puede encontrar aquí.

Un conmutativa hereditario de dominio es la misma cosa como un dominio de Dedekind, y un conmutativa semihereditary de dominio es la misma cosa como una Prüfer de dominio.

Para los ejemplos que no son dominios (por lo general), semisimple anillos son hereditarios (en ambos lados) y von Neumann regular los anillos son semihereditary (en ambos lados).