Kontsevich, y Geométricas, Cuantización y la Podles esfera

Question

Existen una gran familia de no conmutativa espacios que surgen de la cuantía de las matrices. Estos objetos algebraicos $q$-deformar la de coordinar los anillos de ciertas variedades. Por ejemplo, tomar cuántica $SU(2)$, este es el álgebra $< a,b,c,d >$ quotiented por el ideal generado por $$ ab−qba, ~~ ac−qca, ~~ bc−cb, ~~ bd−qdb, ~~ cd−qdc, ~~ ad−da−q−q^{-1})bc, $$ y la "q-det" relación $$ ad−qbc−1 $$ donde $q$ es algún número complejo. Claramente, cuando la $q=1$ regresar de nuevo a la coordenada anillo de $SU(2)$. En el caso clásico $S^2 = SU(2)/U(1)$ (el famoso Hopf fibration). Esto se generaliza a la q-caso: el $U(1)$-acción se generaliza a un $U(1)$-confluencia con un invariante subalgebra de que q-deforma las coordenadas de álgebra de $S^2$ - el famoso Podles esfera. Existen tales p-matriz de deformaciones de todos los de la bandera de los colectores.

Desde todos estos colectores son Kahler, también podemos aplicar Kontsevich de deformación para obtener un p-defomation. Mi pregunta es: ¿Cuál es la relación entre estos dos enfoques?

Alternativamente, se puede aplicar Kostant-Souriau de cuantización geométrica a una bandera del colector. ¿Cómo alegbra se relacionan con su q-matriz de deformación?

Answer 1

Como tengo entendido, la bandera de los colectores con el Kahler estructuras mencionadas en la pregunta son simplemente coadjoint órbitas de los compactos Mentira grupos con el Kirillov-Kostant-Souriau soporte, por lo que su cuantizaciones producirá los cocientes de la habitual envolvente álgebra $U(g)$ y no tiene que ver con los grupos cuánticos. Supongo que el q-espacios discutido en la pregunta está destinado a ser q-deformaciones de estos.

Aquí están algunos artículos sobre este: arXiv:matemáticas/0206049 y arXiv:matemáticas/9807159. Esta es una muy sutil de negocios: por ejemplo, se explica que el 2 parámetros de deformación (similar a la de 2 parámetros de la familia de Podles esferas) no siempre existen, a pesar de que no existen en el tipo a y en muchos otros casos, por ejemplo, si órbitas son simétricas espacios.

Answer 2

Deje $q$ ser una variable en lugar de un número complejo, escribir $q=1+t$ $t$ también una variable, y completa con respecto a la $t$-ádico de la topología. Esto le da una formales deformación de la coordenada de álgebra de la esfera en el sentido de Gerstenhaber---esto no es tautológica: se sigue del hecho de que la deformación es plana.

Answer 3

Creo que este papel de Sheu podría proporcionar una respuesta. Este fue uno de los primeros éxitos de la teoría de Poisson-Mentira grupos. Es anterior a Kontsevich general de los resultados de Poisson deformaciones.

Answer 4

Yo tenía la misma pregunta, pero no aún para quantum de la bandera de los colectores (estos cuántica son homogéneos espacios para los grupos cuánticos), pero ya por la cuantía de los grupos mismos. Estos últimos son especiales cuantizaciones de los llamados estándar de Poisson-Mentira estructuras en el grupo (simplemente conectado, simple). Es por lo tanto claro para mí la relación con la cuantización canónica de Kontsevich.