Anillo Local de una Subvariedad (problema 1.3.13 en Hartshorne)

Question

He comenzado a estudiar AG para prepararse para la escuela de posgrado y estoy atascado con el siguiente problema en Hartshorne. El enunciado del problema es como sigue (que se encuentra en la p. 22 en Hartshorne la AG):

Deje $Y\subseteq X$ ser una subvariedad. Deje $\mathcal{O}_{Y,X}$ el conjunto de clases de equivalencia $\langle U,f\rangle$ donde $U\subseteq X$ está abierto, $U\cap Y\neq \emptyset$, e $f$ es una función regular en $U$. Decimos que $\langle U,f\rangle$ es equivalente a $\langle V,g\rangle$ si $f=g$$U\cap V$. Mostrar que $\mathcal{O}_{Y,X}$ es un anillo local, con el residuo de campo $K(Y)$ y dimensión = $\dim X-\dim Y$.

He consultado un par de conjuntos de soluciones para Hartshorne que se pueden encontrar en línea, pero ambos handwaved la parte que estoy pegado con. Las soluciones de conjuntos son las siguientes:

http://www.math.northwestern.edu/~jcutrone/Trabajo/Hartshorne%20Algebraic%20Geometry%20Solutions.pdf

http://math.berkeley.edu/~reb/cursos/256 BIS/1.3.pdf

Mi enfoque para resolver el problema es el siguiente. Mira el siguiente ideal:

$$\mathfrak{m}=\{\langle U,f\rangle \mid f(P)= 0 \; \forall P\in U\cap Y\}$$

Es fácil mostrar que cualquier elemento que no esté contenida en el mismo es invertible. Tenemos entonces un canónica mapa de $\mathcal{O}_{Y,X}\to K(Y)$ dada por

$$\langle U,f\rangle \mapsto \langle U\cap Y,f\rangle$$

y el núcleo de este mapa es, obviamente,$\mathfrak{m}$. Sin embargo, estoy totalmente atascado con probar que este mapa es surjective, que es necesario para demostrar que el residuo de campo es $K(Y)$. Esta parte parece ser handwaved por tanto de las soluciones anteriores. En otras palabras, sería necesario mostrar que si $f$ es regular en un conjunto abierto $U\subset Y$, $f$ se extiende a una función regular, en algunos abren $V\subset X$ s.t. $U\supset V\cap Y$.

Answer 1

Ya has demostrado que $\mathfrak m$ es el único ideal maximal de a $\mathcal O_{Y,X}$, ya que cualquier elemento no en $\mathfrak m$ es invertible. Ahora sólo considere el $\mathcal O_{Y,X}/\mathfrak m$. Este es precisamente el conjunto de todos los $\langle U, f \rangle$ tal que $f$ es regular en $U$ $f(P)\neq 0$ todos los $P \in U \cap Y$. Este es un campo que identifica inmediatamente con $K(Y)$.

Si quieres hacerlo a tu manera y demostrar que $\mathcal O_{X,Y}$ surjects en $K(Y)$, ten en cuenta que un elemento de $K(Y)$ es administrado por un par de $\langle V, f \rangle$ tal que $V\subset Y$ es abierto y $f$ es regular en $V$. Por el encogimiento, podemos asumir que $V$ es afín. Pero, a continuación, $V=U \cap Y$ para algunos afín a abrir $U \subset X$, y el de elevación que usted está buscando proviene de la natural surjection de la coordenada anillos de $U$ a $V$ desde $V$ es un afín subconjunto cerrado de $U$.