Nombre de $|x|^p+|y|^p\le (|x|+|y|)^p$ ($p\ge 1$)?

Question

He comprobado estos

¿Cuál es la diferencia entre el cuadrado de la suma y la suma de los cuadrados?

Demostrar $(|x| + |y|)^p \le |x|^p + |y|^p$$x,y \in \mathbb R$$p \in (0,1]$.

Es fácil ver $p$-ésima potencia ($p\ge 1$) de la versión, es decir,, $|x|^p+|y|^p\le (|x|+|y|)^p$ ($p\ge 1$), sostiene así el uso de la argumentación de Quang Hoang en Demostrar $(|x| + |y|)^p \le |x|^p + |y|^p$$x,y \in \mathbb R$$p \in (0,1]$. Hay un nombre para esto la desigualdad, de manera que sólo puedo citar? (Puede ser primaria, resultado, pero la gente a mi alrededor se molestan en poner "de Cauchy--Schwarz,..." cuando es claramente de Cauchy--Schwarz, así.)

Answer 1

Creo que no hay un nombre específico para su desigualdad (que reescribir de la siguiente): $$ |x|^p+|y|^p\le \big(|x|+|y|\big)^p, \ p \ge1 \ffi \boxed{\ \ \izquierdo(|x|^p +|y|^p\right)^{\frac{1}{p}} \le |x|+|y|, \quad p \ge 1 \ \ } $$ Sin embargo, puede ser visto como un caso especial de las múltiples declaraciones más generales, tales como Jensen, AMGM, Hölder, y probablemente muchas otras desigualdades después de que proceda la sustitución y/o cambio de variables. El cierra de la llamada sería probablemente la generalizada significa que la desigualdad: $$ M_j\left( x_1, \dots, x_n \right) \leq M_i\left( x_1, \dots, x_n \right) \quad \text{ cuando } \quad j<i. \label{*} \etiqueta{*} $$

Aquí $M_k \left( x_1, \dots, x_n \right)$ es el llamado de potencia media, que se define como $$ M_k(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^k \right)^{\frac{1}{k}}. $$

! En particular, suponiendo que $n=2$, $j = 1$, y $i = p$, y denotando $\left(x_1, \dots, x_n \right) := \left(\,\chi, \gamma \right)$, obtenemos $$ \begin{aligned} M_1\big(\left|\,\chi\right|, \left|\gamma\right|\big) & = \dfrac{1 }{2}\big(\left|\,\chi\right| + \left|\gamma\right|\big) = \dfrac{\left|\,\chi\right| }{2} + \dfrac{\left|\gamma\right| }{2}, \\ M_p\big(\left|\,\chi\right|,\left|\gamma\right|\big) & = \left( \dfrac{1}{2} \left(\left|\,\chi\right|^p+\left|\gamma\right|^p\right)\right)^{\frac{1}{p}} = \Bigg( \left(\frac{\left|\,\chi\right|}{2}\right)^p + \left(\frac{\left|\gamma\right|}{2}\right)^p \Bigg)^{\frac{1}{p}}.\\ \end{aligned} $$ Por $\eqref{*}$, tenemos $$ \dfrac{\left|\,\chi\right| }{2} + \dfrac{\left|\gamma\right| }{2} \le \left( \bigg(\frac{\left|\,\chi\right|}{2^{\frac{1}{p}}}\bigg)^p + \bigg(\frac{\left|\gamma\right|}{2^{\frac{1}{p}}}\bigg)^p \right)^{\frac{1}{p}} . \label{**} \etiqueta{**} $$ Denotando $ x := 2^{-\frac{1}{p}}\chi, \ \ y := 2^{-\frac{1}{p}}\gamma$ y elevar ambos lados de $\eqref{**}$ a la potencia $p$, obtenemos
$$ \left|x\right|^{p}+\left|y\right|^{p} \le \big(\left|x\right|+\left|y\right|\big)^{p}. $$

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Para resumir, creo que (estrictamente hablando) probablemente no hay un nombre para su desigualdad. Sin embargo, que la generalización de decir es lo más cerca que se puede llegar a la desigualdad, a pesar de que algunos la fórmula de conversión es necesaria.

Answer 2

Creo que esto debería ser llamado un caso especial de la Desigualdad de Minkowski.

1 - Para finito de secuencias, la Desigualdad de Minkowski los estados que

$$ \left(\sum_{k=1}^n |x_k + y_k |^p \right) ^{1/p} \le \left(\sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left(\sum_{k=1}^n |y_k|^p\right)^{1/p} $$

Su desigualdad, a continuación, sigue a si $x_1 = x, x_i = 0, \; i \ge 2$, e $y_2 = y, y_i = 0, i \ne 2$.

2 - Más Generalmente, en el caso anterior puede ser fácilmente extendido para secuencias infinitas. La mayoría de los resultado general es que, si $f,g : \Omega \to \Bbb{R}$ son medibles funciones en una medida de espacio $(\Omega, \Sigma, \mu)$, entonces la desigualdad

$$ \| f+g \|_{L^p (d\mu)} \le \|f\|_{L^p(d\mu)} + \|g\|_{L^p(d\mu)} $$

Donde $ \|f\|_{L^p(d\mu)}^p = \int_ {\Omega} |f(x)|^p d \mu (x) $

3 - hubo un poco de mentira en el tema 2, porque no es otra que la generalización de este resultado, llamado la Desigualdad de Minkowski para las Integrales. En el enlace de arriba, usted podría verificar una prueba de este resultado, con base en estas presentados previamente.